Ich kann nicht nachvollziehen, wie Du auf den Vektor (1,1,1) kommst. (1,1,1) liegt nicht in der Ebene und Du benötigst immer 2 Vektoren um eine Basis einer Ebene zu bilden. Eine Basis wäre z.B. das Vektorenpaar: $$v_1=\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \quad v_2= \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$ Beide Vektoren erfüllen die Ebenengleichung und sind zueinander linear unabhängig. Somit gibt es für jeden Punkt \(e\) in der Ebene eine eindeutige Lösung für die \(\lambda\)'s aus $$e=\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 $$ das ist auch ein Erzeugendensystem von \(E\), aber eben auch eine Basis.
Ein weiteres Erzeugendensystem zu \(E\), was keine Basis ist, kann ein System sein, was unterbestimmt ist. Also eine Gleichung, bei der es keine eindeutige Lösung für die \(\lambda\)'s gibt. Füge einfach einen linear abhängigen Vektor hinzu - z.B. die Summe aus \(v_1\) und \(v_2\). man erhält $$e=\lambda_1 \cdot v_1 + \lambda_2 \cdot v_2 + \lambda_3 \cdot(v_1 + v_2) $$ als Erzeugendensystem für \(E\), was aber auf Grund der linearen Abhängigkeit der Vektoren keine Basis ist.
zu b) Wenn \(Span\{ v_1, v_2\}\) und \(Span\{ v_1, v_3\}\) Ebenen sind, so heißt das auch, dass das Paar \(v_1\) und \(v_2\) und das Paar \(v_1\) und \(v_3\) jeweils linear unabhängig ist. Sind beide Ebenen verschieden, so kann \(v_3\) nicht in \(Span\{ v_1, v_2\}\) liegen, da zwangsläufig \(v_1\) bereits in \(Span\{ v_1, v_2\}\) liegt. Daraus folgt, dass \(v_3\) auch von \(v_1\) und \(v_2\) linear unabhängig sein muss. Jedes Tripel von linear unabhängigen Vektoren ist eine Basis des \(\mathbb{R}^3\).
Gruß Werner
