Stellen Sie eine Vermutung für die (nicht rekursive) Berechnung der Glieder auf und beweisen Sie diese per Induktion.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die ersten Glieder der Rekursion

\( a_{n}=a_{1}+a_{2}+\ldots+a_{n-1} \quad \text { mit } a_{1}=1 \)

Stellen Sie eine Vermutung für die (nicht rekursive) Berechnung der Glieder mithilfe einer Formel auf, und beweisen Sie diese per Induktion.

Ansatz:

Wie mache ich das am besten?

Ich habe die Reihe aufgestellt, 1,1,2,4,8,16,32,... und die Vermutung: an= 2^{n-2}

Aber wie rechne ich damit die Induktion?

Answer 1

aus der Definition geht doch für \( n \geq 2 \)

$$ a_{n+1} = a_1 +...+ a_{n-1} + a_n = a_n + a_n = 2*a_n \quad (*) $$

Jetzt machst du dein Induktionsanfang bei n = 2

und im Induktionsschritt verwendest du \( (*) \) und deine Induktionsvoraussetzung für \(a_n\)

Gruß

Comments

versteh ich nicht wirklich.

Indunktionsschritt : sei an=2n−2. 
Dann nach der Definition an+1=a1+...+an=1+1+2+4+8+...+2n−2=1+∑k=0n−22k=1+2n−1−12−1, nach der Formel für geometrische Summe, und weiter =1+2n−1−1=2n−1=2(n+1)−2. Somit ist die Formel für n+1 gezeigt, Ende.

das hat mir jemand als ylösung gegeben. aber ich versteh nicht wie man auf die Formel kommt

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Die Lösung geht auch, aber ich versteh nicht warum du nicht einfach selbst was machst oder wenigstens auf meine Antwort eingehst anstatt mir eine schlecht aufgeschriebene unnötig umständige alternative Lösung hinzuwerfen? (In dieser Aufgabe braucht man definitiv keine geometrische Summenformel).