Sei f eine konvexe Funktion. Dann ist |f(x)| konvex. Beweis ohne Dreiecksungleichung?

Question

es geht um folgende Aussage:

Sei \(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}\) konvex. Dann ist auch \(\varphi:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},~ \varphi(x)=|f(x)|\) konvex.

Mit Hilfe der Dreiecksungleichung lässt sich das sehr leicht beweisen. Aber geht das auch ohne? Ich finde keinen Beweis, der die Dreiecksungleichung nicht nutzt, vielleicht findet jemand von euch einen?

Letztendlich möchte ich somit, da \(x\mapsto x\) trivalerweise konvex ist, die Konvexität von \(x\mapsto |x|\) folgern. Falls jemand die letzte Aussage auch direkt ohne Nutzung der Dreiecksungleichung beweisen kann, immer her damit.

Comments

Sicher, dass die Aussage sich sehr leicht beweisen lässt?
Gilt die Aussage auch für \(f(x)=x^2-1\)?

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hj: guter Einwand.

Zu |x| :  Man müsste doch nur zeigen, dass die 'Sekantenabschnitte oberhalb' von |x| verlaufen. Das ist bei den Sekanten, die Punkte links oder rechts der y-Achse liegen klar (fallen zusammen mit den Halbgeraden).

Sekanten, die Punkte rechts und links der y-Achse verbinden, haben einen y-Achsenabschnitt > 0.

Das sollte mE. genügen für |x|.