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Ein Seil hängt zwischen zwei verschieden hohen Masten, die einen Abstand von \( d=100 \mathrm{~m} \) haben. Die Seilkurve habe die Gleichung:

\( y=a \cdot \cosh \left(\frac{x}{a}\right)+b \)

Berechnen Sie: \( b, x_{1}, x_{2} \) und den tiefsten Punkt des Seils.

Daten: \( a=500 \mathrm{~m}, \quad h_{1}=20 \mathrm{~m}, \quad h_{2}=25 \mathrm{~m} \)

blob.png


Ansatz/Problem:

Ich habe noch nichts mit solchen Funktionen zu tun gehabt. Es wundert mich daher auch, warum ich diese Aufgabe erhalten habe. Ist mit b die Konstante gemeint? Ist das der Schnittpunkt mit der y-Achse? Kann ich schreiben: y = 500*cosh(x/500) + b? Wie muss ich weiter vorgehen.

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Beste Antwort
Es ist cosh(x) = ( e^x + e^{-x} ) / 2

Damit kannst du das alles ganz normal berechnen und z.B.
auch die Ableitung bilden, für den tiefsten Punkt.
Außerdem kannst du ja ablesen
für x=0 ist y=b  Also, wenn f die Funktion ist,  f(0)=b
Das a ist gegeben und du hast    f(x1)=20   und  f(x1+100) = 25
Avatar von 289 k 🚀

 Danke für die Antwort.f(x) = a*cosh(x/a) + b 

f(x) = a*(e^{x/a} + e^-(x/a)) / 2  + b 

f(x) = 500*(e^{x/500} + e^-(x/500)) / 2  + b 

f(0) = 500*(e^{0/500} + e^-(0/500)) / 2  + b 

f(0) = 500*(1 +1)/2  + b  = 500 + b

Verstehe ich nicht. :/

Pardon, war mein Fehler  nicht f(0)=bsondern wie du richtig gerechnet hast

f(0)=b+ 500  und mit den anderen beiden Gleichungen bekommst du

sicher das x1 und das b heraus.

Ich weiß ehrlich gesagt nicht, was ich machen soll.

Was sagt mir das f(0)=b+ 500?

Und in wie fern kann ich x1 und x2  mit einbeziehen?


f(x1)= 20

f(x2) = 25

x2 = x1 + 100

Danke. Das verstehe ich, aber ich weiß nicht, wie ich auf das b kommen soll ...

f(x1)=20   und  f(x1+100) = 25gibt wenn du es einsetzt zwei Gleichungen,

in denen jeweils das x1 und b drin sind.

Da kann man vermutlich eine nach b auflösen und bei der anderen einsetzen.

und so kriegt man dann x1 und b.

Denk ich mal.

Ich stell hier gerade den größten Blödsinn auf.

Kann mir das jemand bitte vormachen?

meine Komplettantwort kommt gleich. mfg Georg

Derzeit scheint mir die Lösung sehr kompliziert zu sein, sodaß
mit einer schnellen Antwort nicht zu rechnen ist.
Ich bleibe aber dabei.

Aber man muss das schon mt 2 Gleichungen machen und dann gleichsetzen, oder?

https://en.wikipedia.org/wiki/Hyperbolic_function

Sums of arguments:
\( \begin{aligned} \sinh (x+y) &=\sinh (x) \cosh (y)+\cosh (x) \sinh (y) \\ \cosh (x+y) &=\cosh (x) \cosh (y)+\sinh (x) \sinh (y) \end{aligned} \)
particularly
\( \begin{array}{l} \cosh (2 x)=\sinh ^{2} x+\cosh ^{2} x=2 \sinh ^{2} x+1=2 \cosh ^{2} x-1 \\ \sinh (2 x)=2 \sinh x \cosh x \end{array} \)
Sum and difference of cosh and sinh:
\( \begin{aligned} \cosh x+\sinh x &=e^{x} \\ \cosh x-\sinh x &=e^{-x} \end{aligned} \)

Die 2. Formel könnte vielleicht helfen.

Du hast ja

20 = 500*cosh(x1/500) + b

und

25 = 500*cosh( (x1 + 100) / 500) + b

Also

b = 500*cosh(x1/500) -20 = 500*cosh((x1+100)/500) - 25

5 = 500*cosh((x1+100)/500) - 500*cosh(x1/500)

Nun beim linken Summanden mit der 2. Formel weiter (?)

Danke sehr!
Genau so weit bin ich auch gerade eigenständig gekommen. Mit Additiontheremen vielleicht weiter.

Probiere ich mal aus.

0.01 = 0.02cosh(x/500)+ 0.2sinh(x/500) gerundet aber richtig

Wie löse ich nach x auf?

Dank dem rechten Teil von 'paritcularly' kannst du sinh durch cosh ausdrücken.

Dann z.B. cosh(x) = u substituieren.

Könnte eine quadratische Gleichung geben. (?)

Verstehe ich leider  nicht. Wie kann ich das durch cosh ausdrücken?

Da würde ich wieder auf die Darstellung mit e zurückkommen und

die Substitution  e^{x/500} = z  und e^{-x/500} = 1/z machen, dann gibt das

0.01 = 0.02cosh(x/500)+ 0.2sinh(x/500)

0.01 = 0.01 ( z+1/z)+ 0.1( z - 1/z)

Jetzt alles mal z und du hast eine quad. Gleichung für z

+1 Daumen
So jetzt habe ichs
x2 = 73,35 m
b = -480 m

Dies ist eine sehr, sehr, sehr komplizierte Aufgabe mit sehr, sehr,sehr
viel Rechnerei und Trick 17.

Wer hat dir die Aufgabe gegeben piknockyu ?

Ich müßte alles noch einmal ins Reine schreiben.

Wird die Aufgabe bei euch im Unterricht noch besprochen ?
Avatar von

boah, ich saß jetzt 5h dran und habe sie mit etwas Hilfe erfolgreich gelöst!

Mein Mathematik-Prof (1.Semester Maschinenbau) hat das als Hausaufgabe gegeben. Jetzt als ich sie verstanden habe, ist sie nicht mehr kompliziert. Ich habe 3 Varianten gefunden, und habe mich für die kürzeste entschieden. Meine Ergebnisse sind richtig. Du hast wohl einen Rundungsfehler bei x2 = 73,35 m, laut Löser: x2 = 74.9480 m.

Meine Einschätzung : an dieser Aufgabe, im Matheabitur Leistungskurs gestellt,
würden 99 von 100 daran verzweifeln.  Ich hätte diese Aufgabe auch oberhalb
des Gymnasialstoffs angesiedelt.
Ein Rundungsfehler kann bei mir sein.

Ich glaube noch weniger würden die hinkriegen.

Kommen im Abitur Hyperbolicus und Additionstheoreme überhaupt dran?

Ja.
Aber so geballt wie in dieser Aufgabe nicht.

Hier bei InteresseBild Mathematik

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