Verkettung von Funktionen erklären

Question

Es soll die Verkettung von f nach g erfolgen. Ich habe die Lösung angehängt. Kann mir jemand den Weg dazu erklären?

\( g: \mathbb{R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}, \quad g(x)=\sqrt{\frac{x+2}{x+1}} \)

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad f(y)=\frac{1}{y^{2}} \)

\( (g \circ f)(x)=\sqrt{\frac{1+2 x^{2}}{1+x^{2}}} \)

Answer 1

die Komposition oder Verkettung 2er Funktionen bedeutet, dass du die Funktionen hintereinander ausführst.

Also: \( (g \circ f)(x) := g(f(x)) \)

1) Ausführung von f

$$ g(f(x)) = g \left( \frac{1}{x^2} \right) $$

2) Ausführung von g

$$ g \left( \frac{1}{x^2} \right) = \sqrt{ \frac{ \frac{1}{x^2} + 2}{ \frac{1}{x^2} + 1}} = \sqrt{ \frac{x^2}{x^2} \cdot \frac{ \frac{1}{x^2} + 2}{ \frac{1}{x^2} + 1}} = \sqrt{ \frac{1 + 2x^2}{ 1 + x^2}}$$

Wie du siehst kommt man auf deine Lösung indem man den Bruch unter der Wurzel mit \(x^2\) erweitert.

Gruß

Answer 2

Verkettung bedeutet , dass du bei der äußeren Funktion an Stelle von x das Ergebnis der inneren Funktion einsetzen musst, also

g ° f (x) =   g   (   f(x)  )  =   wurzel (   (  f(x)   +   2  )  /   (  f(x) +  1  ) 
Das rote ist die Stelle wo vorher in der Funktionsgleichung das x stand.
Ob du bei einer Funktion x, oder y  oder z oder wasweissich als Variable nimmst, ist egal
also hier wäre  f(x)  =  1 /  x^2 genauso gut.
       
                                       =   wurzel (   (  1/x^2   +   2  )  /   (  1/x^2 +  1  ) 
                                 gem. Nenner herstellen

                                       =   wurzel (   (  1/x^2   +   2x^2/x^2  )  /   (  1/x^2 +  1*x^2/x^2  ) 
 
                             =   wurzel (   (   (1+2x^2)/x^2  )  /   ( (1/x^2  +1*x^2)  /x^2  ) 

Brüche dividieren indem mit Kehrwert malgenommen wird  

                                      =   wurzel (      (1+2x^2)/x^2  )  *     x^2   /   (1/x^2  +1*x^2)   ) 
das x^2 kürzen und dann hast du das Ergebnis wie in der Musterlösung