Wie kann man zeigen, dass 2 Abbildungen linear sind?

Question

wie kann ich zeigen, dass die beide Abbildungen linear sind?

f:R³->R², (x₁,x₂,x₃)^t -> (x₁ +2x₂, x₂- 3x₃)^t

g:R²->R⁴ , (x₁,x₂)^t -> (x₁+2x₂, 0, 0,x₁)

Answer 1

indem du überprüfst ob,

1. f(x+y) = f(x) + f(y)

2. f(a*x) = a*f(x)

wobei x und y Elemente aus deinem Definitionsbereich sind und a eine beliebige reelle Zahl ist.

Gruß

Comments

ja aber wie? ich weiss nicht wie ich das überprüfen muss.

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Einfach mal in die Funktion einsetzen und gucken was dabei rauskommt. Zum Beispiel bei der ersten Funktion:

$$ x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3  \end{pmatrix}, y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \end{pmatrix}, x+y = \begin{pmatrix} x_1+y_1 \\ x_2+y_2 \\ x_3+y_3 \end{pmatrix}$$

$$f(x+y) =\begin{pmatrix} x_1 +y_1 + 2(x_2+y_2)\\ x_2 +y_2 - 3(x_3+y_3) \end{pmatrix} $$

und ist das dasselbe wie f(x) + f(y)?

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ja das ist dasselbe wie f(x)+f(y)= (x1+2x2, x2-3x3)^t + (y1+2y2, y2-3y3)^t
 und für g genauso:
f(x+y)=(x1+y1+2(x2+y2), 0, 0, x1+y1)^t

f(x)+f(y)=(x1+2x2, 0, 0, x1) + (y1+2y2,0,0,y1)  ----- ist das richtig?

wie mache ich das den jetzt für a (beliebiger zahl).

Und ich musste eigentlich prüfen ob g klingel f linear ist.

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Rübe einsetzen und genau so vorgehen wie vorher

a(x1,x2,x3) = (ax1, ax2, ax3)

g(f(x)) erstmal allgemein berechnen und dann wie bereits gelernt bearbeiten!

Answer 2

Auchnihrb sehtr den Wald vor lauter Bäumen nicht. Die Matrixkoeffizienten sind doch konstant; das reicht. Du musst nicht immer wieder das Rad neu erfinden.

Comments

Zum Glück gibt es ja Förster wie dich :)

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tolle Idee