Komplexe Zahlen in Form x+iy bringen: (1+i)^n + (1-i)^n

Question

Ich habe Probleme damit diese Aufgabe zu lösen

(1+i)^n + (1-i)^n

Ich habe versucht zu erweitern, jedoch kam nichts sinnvolles raus..

Hättet ihr ein Tipp für mich? Wie kann ich noch vorgehen?

Comments

Würde es helfen wenn ich die formel für z=x+iy und z(oben strich) =x-iy benutze??

Answer 1

$$ (1+i)^n + (1-i)^n   $$
Umformung in die Polardarstellung, auch Eulerform genannt:
$$ \big(\sqrt2 \cdot e^{+i\frac{\pi}{4}}\big)^n + \big( \sqrt2 \cdot e^{-i\frac{\pi}{4}} \big)^n  $$
$$ \sqrt{2^n} \cdot e^{+i\cdot n\cdot \frac{\pi}{4}} +  \sqrt{2^n} \cdot e^{-i\cdot n\cdot \frac{\pi}{4}}  $$
$$ \sqrt{2^n} \cdot \big(e^{+i\cdot n\cdot \frac{\pi}{4}} + e^{-i\cdot n\cdot \frac{\pi}{4}}\big)  $$
$$\sqrt{2^n} \cdot \big(\cos( n\cdot \frac{\pi}{4}) + i\sin( n\cdot \frac{\pi}{4})+\cos( n\cdot \frac{\pi}{4})-i\sin( n\cdot \frac{\pi}{4})\big) $$
$$\sqrt{2^n} \cdot \big(\cos( n\cdot \frac{\pi}{4})+\cos( n\cdot \frac{\pi}{4})\big) $$
$$\sqrt{2^n} \cdot 2 \cdot \big(\cos( n\cdot \frac{\pi}{4})\big) $$

Comments

Supii xD Danke dir :)

Answer 2

(1+i)ⁿ + (1-i)ⁿ 

verwende die Darstellungen ->

( 1+i) = wurzel(2) * [ cos(45°) + i sin(45°)]

und

( 1 - i) = wurzel(2) * [ cos(-45°) + i sin(-45°)]

.