Question

Untersuchen Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte von \( g \) und \( E \). Bestimmen Sie gegebenenfalls den Durchstoßpunkt.

\( \mathbf{g}: \vec{x}=t \cdot\left(\begin{array}{l} -1 \\ -1 \\ -1 \end{array}\right), \mathrm{E}: \vec{x}=\left(\begin{array}{l} 0 \\ 0 \\ 2 \end{array}\right)+r \cdot\left(\begin{array}{l} 2 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)+s \cdot\left(\begin{array}{l} 0 \\ 2 \\ 0 \end{array}\right) \)

Ansatz/Problem:

Weshalb ist in dieser Aufgabe nach der Anzahl der gemeinsamen Punkte gefragt? Es gibt doch nur einen einzigen gemeinsamen Punkt und dieser ist der Durchstoßpunkt...dachte ich immer.

Answer 1

Die Gerade kann auch vollständig in der Ebene liegen oder parallel zu ihr verlaufen.

Comments

wenn sie parallel verläuft dann gibt es auch keinen gemeinsamen punkt. wenn sie auf der ebene liegt, dann gibt es gleich unendlich viele und wenn sie diese nur durchstößt, dann doch nur einen. oder habe ich unrecht? nun verstehe ich aber nicht was mir mit dieser aufgabe jetzt genau gesagt werden soll, also was soll ich jetzt rechnen?

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Du sollst hinsichtlich der Anzahl der gemeinsamer Punkte untersuchen. Und dafür gibt es eben mehrere Möglichkeiten, 1 gemeinsamer Punkt, keiner oder unendlich.

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also ich wollte erstmal in die kordinatenform der ebene kommen und als ich den normalenvektor hierfür ausrechnen wollte kam (0 0 0) untereinander geschrieben raus. Dann kann ich ja keine Koordinatenform ausrechnen. Was bedeutet das jetzt?

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siehe da, oh mann. ich verzweifle!

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Hast dich glaub ich verrechnet (hab noch nie mit diesem Kreuzprodukt gearbeitet...) aber ich meine, dass in der letzten Komponente \(2\cdot 2 - 0 \cdot 0\) stehen müsste. Würde auch Sinn machen, denn ich sehe sofort, dass \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\) ein Normalenvektor sein muss, denn die beiden Richtungsvektoren sind ja Vielfache der ersten beiden Einheitsvektoren.

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Ah, mist! Ja, danke!!!! Super, für t kommt so -2 raus, somit gibt es einen Durchstoßpunkt. Vielen Dank für die liebe Hilfe!