Untersuche die Anzahl der gemeinsamen Punkte von g und E. Bestimme ggf. den Durchstoßpunkt.

Question

Untersuche die Anzahl der gemeinsamen Punkte von g und E. Bestimme gegebenfalls den Durchstoßpunkt.

a) g: x  = ( -2 | 1 | 4) + t * ( 7 | 8 | 6); E: x = ( 1 | 4 | 3) + r * ( 0 |  -1 | 1) + s * (1 | 0 | 3)

b) g:x = ( 22 | -18 | -7) + t * ( 4 | 1 | -5); E: x = ( 2 | 1 | 0 ) + r * ( 4 | -7 | 1) + s* (0 | 4 | -3)

Comments

Wandle deine Ebenengleichungen in die Koordinatenform um und gehe dann vor wie bei der Aufgabe eben. So bekommst du automatisch den Schnittpunkt, falls es so einen gibt.

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kannst du es mir bitte vorrechnen? ich weiß ehrlich nicht wie das geht und wenn andere mir das vormachen verstehe ich das in der Regel immer besser..

Answer 1

Also vorrechnen gibt es nicht aber Hilfe zu Selbsthilfe.

$$ g(t)=\left(\begin{matrix} -2\\1\\4 \end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix} 7\\8\\6 \end{matrix}\right) $$ beschreibt alle Punkte auf der Geraden und
$$ E(r,s)=\left(\begin{matrix} 1\\4\\3 \end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix} 0\\-1\\1 \end{matrix}\right)+t\cdot \left(\begin{matrix} 1\\0\\3 \end{matrix}\right) $$ beschreibt alle Punkt in der Ebene.
Sollte es nun gemeinsame Punkte auf der Geraden und der Ebene geben, muss man \( g(t)=E(r,s) \) setzen. Das ergibt ausgeschrieben drei Gleichungen für die drei Unbekannten \( t,r \) und \( s \)
Schreib mal die Gleichungen hin, dann sehen wir weiter.

Comments

Ich habe dieselbe Aufgabe aufbekommen.

Ich habe g = E gesetzt und habe die 3 Gleichungen dabei erhalten:

I: -3 = s - 7t

II: -3 = -r - 8t

III: 1 = r + 3s - 6t

Allerdings weiß ich jetzt nicht wie ich weiter vorgehen muss. Könnten Sie mir vielleicht einen Tipp geben?

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Angenommen, deine Gleichungen stimmen:

Addiere II + III

Dann hast du Gleichung IV mit den Unbekannten s und t.

Nun kannst du mit I und IV die Unbekannten s und t ausrechnen.

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Okay, ich habe II + III addiert.

Und dann habe ich IV - 2I gerechnet.

Dann bekomme ich für s = 4/5 raus.

Weißt du vielleicht ob ich da richtig gerechnet habe?

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Wieso wurde darauf nicht mehr geantwortet? mich würde das auch interessieren.

Wieso brauch man denn eine vierte Gleichung?

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Wieso brauch man denn eine vierte Gleichung? 

Ein wichtiges Prinzip beim Lösen von Gleichungssystemen heisst: Mache aus einem Gleichungssystem mit 3 Unbekannten und 3 Gleichungen ein Gleichungssystem mit 2 Unbekannten und 2 Gleichungen und dann daraus eine Gleichung mit einer Unbekannten. Danach kannst du von hinten her die übrigen Unbekannten bestimmen. 

Das lernt man ca. in der 10. Klasse beim Additions- und Subtraktionsverfahren. Also in der Regel schon bevor man Gauss kennenlernt und es ist für die meisten Schüler übersichtlicher. 

Du bist aber frei. Ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten kannst du mit der Methode lösen, die dir am besten gefällt. Wähle eine, bei der du möglichst wenig Flüchtigkeitsfehler machst.