Aufgabe "Nach Art der Käferaufgaben":
Das Schulministerium plant, dass künftig für jeden Schüler der Qualifizierungsphase der individuelle \( (p, q) \)-Status erhoben und auf der Laufbahnbescheinigung ausgewiesen wird. Dabei ist \( p \) die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler, wenn er seine Hausaufgaben heute hat, sie auch in der nächsten Stunde haben wird. Entsprechend ist \( q \) die Wahrscheinlichkeit, dass der Schüler, wenn er seine Hausaufgaben heute nicht hat, sie auch in der nächsten Stunde nicht haben wird.
(a) Erstelle Übergangsdiagramm und Übergangsmatrix.
(b) Welche Werte im \( (p, q) \)-Status geben zu besonderer Sorge Anlass? Schreibe einen kurzen Beitrag zum Leitfaden für Eltern und Sorgeberechtigte.
(c) Es sei \( M \) die Übergangsmatrix zu \( p=\frac{2}{3} \) und \( q=0 \). Bestimme einen Kandidaten für die Grenzmatrix und gib Auskunft, ob die Theorie hier die Existenz einer Grenzmatrix garantiert.
(d) Was bedeuten die Einträge der Grenzmatrix im Sachzusammenhang?
(e) Jan war wieder unaufmerksam, und er hat die Matrix
\( M=\left(\begin{array}{cc} \frac{2}{3} & \frac{5}{12} \\ \frac{1}{3} & 0 \end{array}\right) \)
gebastelt. Berechne zu seiner Matrix die inverse Matrix und die Eigenwerte und berechne die Eigenvektoren zum Eigenwert \( \frac{5}{6} \).
(f) Mit Hilfe der Eigenwerte kann man beurteilen, was für ein beliebiges \( \vec{x} \in \mathbb{R}^{2} \) aus \( M^{k} \vec{x} \) wird für \( k \rightarrow \infty \). Das macht die Eigenwerte auch so interessant. Ich will dich die Sache nicht ganz durchrechnen lassen, aber überlege dir, was aus \( M^{k} \vec{v} \) wird für \( k \rightarrow \infty \), wenn \( \vec{v} \) ein Eigenvektor zum Eigenwert \( \lambda=\frac{5}{6} \) ist. Wie \( \vec{v} \) genau aussieht, ist völlig egal; es kommt nur auf das \( \lambda \) an.
