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könnte mir jemand bitte diese Aussagen beweisen?

(a) sinx+siny=2sin (x+y)/(2)*cos(x-y)/(2)

(b) cosy-cosx=-2sin (x-y)/(2)*sin(x+y)/(2)

(c) Für z = 1/2 + i*((wurzel 3)/(2)) gilt z^6=1

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Du kennst wahrscheinlich    sin(x+y) = sin(x)*cos(y) + cos(x)*sin(y)

jetzt hast du ja rechts  sin((x+y)/2)= sin ( (x/2) + (y/2) )

=  sin(x/2)*cos(y/2) + cos(x/2)*sin(y/2)

Probier mal das gleiche mit dem cos- Teil

1 Antwort

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Nimm einfach die Additionstheoreme für sin und cos und fang mit der rechten Seite an.
Avatar von 289 k 🚀

Ich versteh es leider wirklich nicht. Kannst du mir das bitte mal vorrechnen?

2sin (x+y)/(2)*cos(x+y)/(2)    | 2 kürzen

=  sin (x+y)*cos(x+y)/(2)

= (sinx cosy + cosx siny ) * (cosx cosy - sinx siny) / 2       | ausmultiplizieren

= (sinx cosx (cosy)^2 - (sinx)^2 cosy siny + (cosx)^2 siny cos y - (siny)^2 cosx sinx  ) / 2 

                                 |ausklammern

= ( sinx cosx *(  (cosx)^2 - (siny)^2) + siny cosy ( (cosx)^2 - (sinx)^2)) / 2 

und jetzt?

etwas besser aber noch nicht vollkommen, tut mir leid

Die Frage war eigentlich für Mathef gemeint.

war wohl eher so die Klammerung und bei dem cos steht wohl auch MINUS

cos(    (x-y)/2)  )

= cos ( (x/2) - (y/2) ) =    cos  (x/2) *cos (y/2) ) + sin(x/2) *sin(y/2)

Jetzt alles zusammen mit korrigierter Klammerung

2*sin ((x+y)/2)*cos((x+y)/2)

= 2 * (sin(x/2)*cos(y/2) + cos(x/2)*sin(y/2)) * (  cos(x/2) *cos (y/2) ) + sin(x/2) *sin(y/2) )

Jetzt die beiden großen Klammern ausmultiplizieren:

2 * (  sin(x/2)*cos(y/2) cos(x/2) cos (y/2)

+ cos(x/2)*sin(y/2) cos (x/2) cos (y/2)

+  sin(x/2)*cos(y/2)sin(x/2) *sin(y/2)

+ cos(x/2)*sin(y/2)sin(x/2) *sin(y/2)      )

= 2 * (  sin(x/2)*cos^2 (y/2)  cos(x/2)

+ sin(y/2) cos^2 (x/2)  cos (y/2)

+  sin^2 (x/2)*cos(y/2)sin(y/2)

+ cos(x/2)*sin^2 (y/2)sin(x/2)      )


= 2 * (  sin(x/2)*cos^2 (y/2)  cos(x/2)

+cos(x/2)*sin^2 (y/2)sin(x/2)

+ sin(y/2) cos^2 (x/2)  cos (y/2)

+ sin^2 (x/2)*cos(y/2)sin(y/2)   )

= 2 * (   sin(x/2)cos(x/2)* ( sin^2 (x/2) + cos^2 (x/2) ) + sin(y/2)cos(y/2)*( cos^2 (x/2) +sin^2 (x/2))

und damit man die roten Klammern noch mal ausklammern kann braucht vorne noch ein minus

= 2 * (  - sin(x/2)cos(x/2)* (sin^2 (x/2) +cos^2 (x/2) ) + sin(y/2)cos(y/2)*( cos^2 (x/2) +sin^2 (x/2))

nun aber:

= 2 * ( sin(x/2)cos(x/2) +sin(y/2)cos(y/2) *   ( sin^2 (x/2) + cos^2 (x/2) )

 Nun gibt es ja die berühmte Formel  sin^2 (z) + cos^2 (z) = 1, also ist der rote Faktor weg

und du hast

= 2 *  sin(x/2)cos(x/2)   +     2 sin(y/2)cos(y/2)       

und das ist wieder mit dem Additionstheorem sin( x/2   +  x/2 ) bzw.   sin (y/2  +  y/2 ).

also sin(x)   +  sin(y)

(c) Für z = 1/2 + i*((wurzel 3)/(2)) gilt z6=1

Hier siehst du, dass  |z| = 1 ist und

z =1* ei*pi/3  also  z^6  =  1*e6*i*pi/3  = 1 * ei*2pi = 1 * e^0 = 1

Hallo mathef !


ich habe nicht verstanden bei c) was du mit e hoch iwas gemacht hast ? was ist dann denn  überhaupt und wie kommst du denn drauf ? kannst du mir das bitte erklären ? !

LG

Sabrina

Das ist so eine Schreibweise für komplexe Zahlen,

kannst du aber auch mit z = 1/2 + i*((wurzel 3)/(2)) schreiben.

Dann ist es etwas aufwändiger mit dem Argumentieren

machst du dann besser über z^2 * z^2 * z^2

könntest du mir bitte nochmal mit z^2 * z^2 * z^2 schreiben ? denn ich habe immer c) nicht verstanden :(

mit z = 1/2 + i*((wurzel 3)/(2))

rechnest du z^2 = (  1/2 + i*(wurzel 3)/(2))  )^2

=   1/4     +   2* 1/2 * wurzel(3) / 2  *  i    +   i^2 * ( wurzel(3) / 2 )^2

=   1/4     +   wurzel(3) / 2  *  i    +   (-1) * 3/4

=  -1/2   +        wurzel(3) / 2  *  i

und mit diesem Ergebnis rechnest du z^6 aus:    

z^6 =    ( -1/2   +        wurzel(3) / 2  *  i  )    * ( -1/2   +        wurzel(3) / 2  *  i  ) * ( -1/2   +        wurzel(3) / 2  *  i  )

wenn du die Klammern richtig auflöst kommt   1+0*i   also 1 raus.

Hallo mathef,

gilt deine Rechnung von a) auch für die Rechnung: sinx+siny=2(sinx+y/2) cos(x−y/2),

also bei cos steht nicht wie oben bei der ursprünglichen Aufgabe x+y sondern x-y.

Danke im Voraus.

siehe meinen Kommentar vom 30.11.2014.

In der ursprünglichen Aufgabe war ein Tippfehler,

da sollte ein Minus hin.

Ich korrigier das mal.

Alles klar danke

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