war wohl eher so die Klammerung und bei dem cos steht wohl auch MINUS
cos( (x-y)/2) )
= cos ( (x/2) - (y/2) ) = cos (x/2) *cos (y/2) ) + sin(x/2) *sin(y/2)
Jetzt alles zusammen mit korrigierter Klammerung
2*sin ((x+y)/2)*cos((x+y)/2)
= 2 * (sin(x/2)*cos(y/2) + cos(x/2)*sin(y/2)) * ( cos(x/2) *cos (y/2) ) + sin(x/2) *sin(y/2) )
Jetzt die beiden großen Klammern ausmultiplizieren:
2 * ( sin(x/2)*cos(y/2) cos(x/2) cos (y/2)
+ cos(x/2)*sin(y/2) cos (x/2) cos (y/2)
+ sin(x/2)*cos(y/2)sin(x/2) *sin(y/2)
+ cos(x/2)*sin(y/2)sin(x/2) *sin(y/2) )
= 2 * ( sin(x/2)*cos^2 (y/2) cos(x/2)
+ sin(y/2) cos^2 (x/2) cos (y/2)
+ sin^2 (x/2)*cos(y/2)sin(y/2)
+ cos(x/2)*sin^2 (y/2)sin(x/2) )
= 2 * ( sin(x/2)*cos^2 (y/2) cos(x/2)
+cos(x/2)*sin^2 (y/2)sin(x/2)
+ sin(y/2) cos^2 (x/2) cos (y/2)
+ sin^2 (x/2)*cos(y/2)sin(y/2) )
= 2 * ( sin(x/2)cos(x/2)* ( sin^2 (x/2) + cos^2 (x/2) ) + sin(y/2)cos(y/2)*( cos^2 (x/2) +sin^2 (x/2))
und damit man die roten Klammern noch mal ausklammern kann braucht vorne noch ein minus
= 2 * ( - sin(x/2)cos(x/2)* (sin^2 (x/2) +cos^2 (x/2) ) + sin(y/2)cos(y/2)*( cos^2 (x/2) +sin^2 (x/2))
nun aber:
= 2 * ( sin(x/2)cos(x/2) +sin(y/2)cos(y/2) * ( sin^2 (x/2) + cos^2 (x/2) )
Nun gibt es ja die berühmte Formel sin^2 (z) + cos^2 (z) = 1, also ist der rote Faktor weg
und du hast
= 2 * sin(x/2)cos(x/2) + 2 sin(y/2)cos(y/2)
und das ist wieder mit dem Additionstheorem sin( x/2 + x/2 ) bzw. sin (y/2 + y/2 ).
also sin(x) + sin(y)