Stetigkeit von Funktionen überprüfen

Question

Zeigen Sie, dass die folgenden Funktionen stetig sind. Überprüfen Sie jeweils, ob die Funktionen stetig auf ganz \( \mathbb{R} \) fortsetzbar sind.

(a) \( f(x)=\frac{\left(x^{2}-9\right)\left(4-x^{2}\right)}{x^{2}+x-6}, x \in \mathbb{R} \backslash\{-3,2\} \)

(b) \( f(x)=x \cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right), x \in \mathbb{R} \backslash\{0\} \)

Answer 1

(x^2-9)(x^2-4)  /   (x^2 + x - 6)

(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)   /     (x+3)(x-2)   kannst du für x ungleich -3 und x ungleich 2 kürzen

(x-3)(x+2)    und daran siehst du, dass man stetig fortsetzen kann einfach -3 und 2 hier einsetzen.

Nachweis der Stetigkeit ansonsten über den Aufbau des Funktionsterms

Comments

Problemfall ist da ja nur die Stelle 0.

sin(1/x) bewegt sich ja immer zwischen -1 und 1

und für x gegen Null geht halt x gegen Null

also Grenzwert der Funktion für x gegen Null ist von der

Art  Nullfolge mal beschränkte Folge gibt Nullfolge

Also durch f(x)=0 stetig ergänzbar.