Extrema einer gebrochen rationalen Funktion f(x) = (x^2-2x+1) / (x^2-2x)

Question

Hallo zuammen,

ich bin dabei eine Kurvendiskussion für die Funktion f(x) = (x²-2x+1) / (x²-2x) zu machen.

Nun habe ich errechnnet, dass bei dem Punkt P(1|0) ein Hochpunkt ist und das Maximum.

Ich würde gerne einmal wissen, ob das so richtig ist und ob es noch weitere Extrema zu dieser Funktion gibt.

Answer 1

(1 | 0) ist ein Lokaler Hochpunkt allerding nicht das Maximum

Comments

Gibt es denn noch weitere Hoch- oder Tiefpunkte zu dieser Funktion?
Und wenn ja, wie kann ich diese errechnen?

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Schau dir mal die Funktion an. Es gibt keine weiteren Extrema.

f(x) = (x^2 - 2·x + 1)/(x^2 - 2·x)

f'(x) = 2·(1 - x)/(x^2 - 2·x)^2 = 0

Einzige lokale Extremstelle bei x = 1

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nein gibt es nicht, f'(x) = 0 hat nur eine Lösung, bei weiteren lokalen extrema müsste es weitere Lösungen geben.

Answer 2

( x^2 - 2x + 1 ) / ( x^2 - 2x ) = 1 + 1 / ( x^2 - 2x )  ( Polynomdivision )
f ( x ) = 1 + 1 / ( x^2 - 2x )

1.Ableitung
f ´( x ) = - ( 2x - 2 ) / ( x^2 - 2x)^4

Extremwert
- ( 2x - 2 ) / ( x^2 - 2x)^4
Ein Bruch ist dann gleich 0 wenn der Zähler 0 ist
 2x - 2 = 0
x = 1

f ( 1 ) = 1 + 1 / ( 1^2 - 2*1 ) = 1 -1 = 0
E ( 1  | 0 )

Monotonie > 0
1.Ableitung > 0
- ( 2x - 2 ) / ( x^2 - 2x)^4 > 0 
Der Nenner ist immer positiv weil ^4. Ist
- ( 2x - 2 ) > 0  | * (-1)
2x - 2 < 0
2x < 2
x < 1
Für x < 1 ist die Steigung positiv.
Das heißt bis x = 1 steigt die Funktion dann
fällt sie.
E ( 1  | 0 ) ist ein Hochpunkt.

Weitere Extremwerte gibt es nicht.