Asymptote einer gebrochen rationalen Funktion f(x) = (x^2-2x+1) / (x^2-2x)

Question

ich mache eine Kurvendiskussion für die Funktion f(x)=  (x^2-2x+1) / (x^2-2x)

Nun muss ich die Asymptote(n) dafür berechnen.
Wäre nett, wenn mir jemand erklären könnte wie ich das am besten mache und wo welche vorliegen, da ich so etwas noch nie gemacht habe.

Answer 1

Senkrechte Asymptote(n):

→Nullstelle des Nenners: 0=x²-2x → x=0 und x=2

Waagrechte Asymptote:

→ Zählergrad und Nennergrad überprüfen(höchste Potenz im Zähler und im Nenner):

In deinem Beispiel: Zählergrad=2 und Nennergrad=2

Da Zählergrad=Nennergrad ist, teilst du die beiden Koeffizienten, die vor dem Unbekannten stehen.

Da du im Zähler 1*x² und im Nenner 1*x² hast:  1/1=1 ⇒ Also ist bei y=1 deine waagrechte Asymptote.

Weitere Hinweise:

Wäre Zählergrad<Nennergrad, dann musst du nur hinschreiben, dass die x-Achse die waagrechte Asymptote ist.

Ist Zählergrad>Nennergrad, dann gibt es KEINE waagrechte Asymptote!

Comments

Danke, sehr verständlich!

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Kein Problem! :)

Answer 2

für das bestimmen der Asymptote kannst Du das Verhalten im Unendlichen betrachten. Hier sieht man sofort, dass die beiden größten Potenzen im Zähler und Nenner x^2 lauten. Damit ist die Asymptote bei y = 1 zu finden.

Alternativ kann man auch eine Polynomdivision machen, da findet man dann f(x) = 1 + r(x)/(x^2-2x) wo ebenfalls die Asymptote direkt abzulesen ist.

Die senkrechten Asymptoten sind x = 0 und x = 2 (also die Polstellen).

Grüße

Comments

Dass die beiden größten Potenzen bei x² sind sehe ich auch, aber warum heißt das dann das die Asymptote bei y=1 zu finden ist?

Und den Punkt mit der Polynomdivision hab ich auch nicht ganz verstanden :(

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Wenn Du Dir etwas gegen unendlich anschaust, dann sind die größten Potenzen von Relevanz, nicht? Schau Dir also nur diese an. Sind diese gleich groß, dann kürzen sich diese sogar weg und man muss nur noch die Vorfaktoren anschauen. Das wäre dann hier je 1. Also 1/1 = 1 führt auf Deine Asymptote y = 1.

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Okay, habs jetzt verstanden.