Halbwertszeit Cäsium - Wie lange braucht es, dass die Cäsiumbelastung in Tschernobyl auf 20% sinkt?

Question

Aufgabe:

Die Halbwertszeit von Cäsium 137 beträgt ca. 30 Jahre. Wann ist die durch den Reaktorunfall in Tschernobyl verursacht Cäsiumbelastung auf

a) 20%

b) 10%

c) 1%

ihres Maximalwertes (zum Unfallszeitpunkt) zurückgegangen?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Exponentialrechnung. Die Halbewertszeit beträgt von Cäsium 137 beträgt ca. 30 Jahre...

Stichworte: exponentialfunktion,lambda

Hallo und schönen Abend,

die Halbwertszeit von Cäsium 137 beträgt ca. 30 Jahre. Wann ist die beim Reaktorunfall in Tschernobyl verursachte Cäsiumbelastung auf 10 % Ihres Maximalwertes zurückgegangen.

Ich habe dies mit 10 % gerechnet. Mit der Formel N(t)=N0*a^30 kommt das richtige Ergebnis raus, also 99,66 Jahre.

Ich komme aber mit der Darstellung N(t)=Noe^-kt nicht zum selben Ergebnis. Was mache ich falsch?

Habe gerechnet: 1/2=e^-k30

Bekomme beim Lambda immer - 0,023104906 raus.

Answer 1

Wir haben b(x)=c^x.

Wir wissen, dass nach x=30 Jahren die Halbwertszeit erreicht ist, also b(30)=1/2.

Dementsprechend gilt b(30)=c³⁰=1/2.

Um c zu bestimmen müssen wir also die 30te Wurzel ziehen -> c=(1/2)^1/30≈0,977

 

Damit lassen sich nun a/b und c bestimmen.

a)

b(x)=0,2 ->

0,977^x=0,2                    |Logarithmus

x*log(0,977)=log(0,2)  |:log(0,977)

x=log(0,2)/log(0,977)

x≈69,66

b)

b(x)=0,1

x≈99,66

c)

b(x)=0,01

x≈199,32

 

Vorgang klar? Erst ist c zu bestimmen, dann ists hauptsächlich Taschenrechnerarbeit ;).

Beachte bitte, dass Du nicht 0,977 nimmst, sondern den gespeicherten Wert aus c=(1/2)^1/30. Gerundet wird nur das Endergebnis! Der Übersichthalber habe ich allerdings in die Rechnung 0,977 geschrieben, dennoch mit dem exakten Wert gerechnet ;).

Answer 2

Die Halbwertszeit von Cäsium 137 beträgt ca. 30 Jahre. Wann ist die beim Reaktorunfall in Tschernobyl verursachte Cäsiumbelastung auf 10 % Ihres Maximalwertes zurückgegangen

f(x) = 0.5^{x/30} = 0.1

x/30 = LN(0.1)/LN(0.5)

x = 30*LN(0.1)/LN(0.5) = 99.66 Jahre

0.5^{x/30} = e^{x/30*LN[0.5]} = e^{- 0.02310·x}

e^{- 0.02310·x} = 0.1

- 0.02310·x = LN(0.1)

x = -LN(0.1)/0.02310 = 99.68 Jahre