Halbwertszeit von Cäsium ist 30.17 Jahre. Graph bestimmen?

Question

Beim Reaktorunfall in Tschernobyl 1986 wurde eine Reihe unterschiedlicher radioaktiver Stoffe freigesetzt unter anderem Cäsium 137 mit einer HWZ von 30,17 Jahren

a) Nach wie vieln Jahren ist die Cäsiumbelastung auf 25 % bzw. 12,5 % bzw. 11% GESUNGEN

B) Zeichne den Graph des radioaktiven Zerfalls von Cäsium und lies ab ,wann 20 ,5,2, % vorhanden sind ,gib die Jahreszahlen an

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Vom Duplikat:

Titel: Halbwertzeit: Beim Reaktorunfall in Tschernobyl 1986 wurde Cäsium 137 freigesetzt.

Stichworte: cäsium,halbwertszeit,jahre

Aufgabe - Beim Reaktorunfall in Tschernobyl 1986 wurde eine Reihe unterschiedlicher radioaktiver Stoffe freigesetzt, unter anderem Cäsium 137 mit einer Halbwertszeit von 30,17 Jahren.

a) Nach wie vielen Jahren ist die Cäsiumbelastung auf 25 % bzw. 12,5 % gesunken?

b) Zeichne einen geeigneten Graphen des radioaktiven Zerfalls von Cäsium und lies ab, nach welcher Zeit nur noch 20 %, 10 %, 5 % und 2 % der ursprünglichen Belastung vorhanden ist. Gib die Jahreszahlen an.

Answer 1

 

Cäsium 137: HWZ von 30,17 Jahren

Also

x^30,17 = 0,5 | auf beiden Seiten die 30,17. Wurzel ziehen liefert x:

x ≈ 0,9772871932

Probe:

0,9772871932^30,17 = 0,5

 

a) Nach wie vielen Jahren ist die Cäsiumbelastung auf 25 % bzw. 12,5 % bzw. 11% gesunken?

0,9772871932^x = 0,25 | klar, dass es nach 60,34 Jahren sein muss: 0,5 * 0,5 = 0,25 = 25%

Man kann aber auch rechnen

ln(0,25)/ln(0,9772871932) ≈ 60,34

Nach 60,34 Jahren ist die Belastung auf 25% gesunken.

 

0,9772871932^x = 0,125 | natürlich nach 90,51 Jahren: 0,5 * 0,5 * 0,5 = 0,125 = 12,5%

Aber auch hier:

ln(0,125)/ln(0,9772871932) ≈ 90,51

Nach 90,51 Jahren ist die Belastung auf 12,5% gesunken.

 

Bei 11% sehen wir die Lösung nicht auf Anhieb:

ln(0,11)/ln(0,9772871932) ≈ 96,07

Nach ca. 96,07 Jahren ist die Belastung auf 11% gesunken.

 

B) Zeichne den Graph des radioaktiven Zerfalls von Cäsium und lies ab ,wann 20 ,5,2, % vorhanden sind ,gib die Jahreszahlen an

Man kann sich eine Wertetabelle nach obigem Verfahren aufstellen und dann den Graphen zeichnen.

Oder man gibt in eine Graphikplotter die Funktion

f(t) = 0,9772871932^t ein und erhält dann so etwas (beachte die unterschiedliche Skalierung der x- und y-Achse):

Besten Gruß

Answer 2

Halbwertszeit bedeutet, dass nach einer bestimmten Zeit immer genau noch die Häfte des Anfangsbestandes vorhanden ist.  Bei caesium ist als nach 30,17 jahren noch 50% des Anfangsbestandes vorhanden, nach 60,34 Jahren noch 25 % und nach 90,51 Jahren noch 12,5%.

LG

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Und was haben sie für eine Rechnung genommen?

Answer 3

a)

Es gilt:

Endwert = Anfangswert · Wachstumsfaktor ^Zeit

G_n = G₀  · qⁿ

$${ G }_{ n }\quad =\quad { G }_{ 0 }\quad \cdot \quad { q }^{ n\quad  }|:{ G }_{ 0 }\\ \frac { { G }_{ n } }{ { G }_{ 0 } } =\quad { q }^{ n }|\quad \sqrt [ n ]{ q } \\ \sqrt [ n ]{ \frac { { G }_{ n } }{ { G }_{ 0 } }  } =\quad q\quad \\ \\ \sqrt [ 30,17 ]{ \frac { { 50 } }{ { 100 } }  } =\quad q\quad \\ 0,978\quad \approx \quad q\\ \\ \\ \\ \\ \\ { G }_{ n }\quad =\quad { G }_{ 0 }\quad \cdot \quad { q }^{ n\quad  }|:{ G }_{ 0 }\\ \frac { { G }_{ n } }{ { G }_{ 0 } } =\quad { q }^{ n }|{ \quad log }_{ q }\\ \log _{ q }{ \frac { { G }_{ n } }{ { G }_{ 0 } } \quad =\quad n } \\ \log _{ 0,978 }{ \frac { { 25 } }{ { 100 } } \quad =\quad n } \\ 62,31\quad =\quad n\\ \\ \\ \\ \\ \\ { G }_{ n }\quad =\quad { G }_{ 0 }\quad \cdot \quad { q }^{ n\quad  }|:{ G }_{ 0 }\\ \frac { { G }_{ n } }{ { G }_{ 0 } } =\quad { q }^{ n }|{ \quad log }_{ q }\\ \log _{ q }{ \frac { { G }_{ n } }{ { G }_{ 0 } } \quad =\quad n } \\ \log _{ 0,978 }{ \frac { { 12,5 } }{ { 100 } } \quad =\quad n } \\ 93,47\quad =\quad n\\ \\ \\  $$

b)

Du erstellst mithilfe der Formel eine Wertetabelle, rechnest jeweils n aus und überträgst die Punkte in ein Koordinatenkreuz.

Verbessert mich, wenn ich irgendwo falsch liege.

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Du musst bei solchen Aufgaben immer schauen, was gesucht und was gegeben ist. Versuch alle Größen zu berechnen. Die Aufgabe kann man natürlich auch im Kopf rechnen, aber mit dieser Formel verdeutliche ich dir, wie es funktionieren würde, wenn nicht solche bequemen Werte gegeben sind, mit denen man auch gut im Kopf rechnen kann.

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Hi, was rechnest du beim ersten aus?