Kann man den Vektor u als Linearkombination der Vektoren v und w schreiben? Gauß-Algorithmus benutzen.

Question

Thema Vektoren mit in Bezug Gauß-Algorithmus.

Aufgabe 1:

Kann man den Vektor

\( \vec{u}=\left(\begin{array}{l}a \\ 2 \\ 1\end{array}\right), a \epsilon \complement \) als Linearkombination der Vektoren \( \vec{v}=\left(\begin{array}{c}-3 \\ 1 \\ -2\end{array}\right) \) und \( \vec{w}=\left(\begin{array}{c}i \\ 5 \\ -2\end{array}\right) \)

schreiben?

Man benutze dafür den Gauß Algorithmus.

Aufgabe 2:

Gegeben seien im Vektorraum R³ die Mengen

\( B_{1}=\left\{\left(\begin{array}{c}-2 \\ 5 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-4 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)\right\} \) und \( B_{2}=\left\{\left(\begin{array}{c}-3 \\ 0 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-4 \\ 2 \\ -1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}-5 \\ 2 \\ -1\end{array}\right)\right\} \)

(a) Man zeige, dass B1 und B2 Basen des R³ sind?

(b) Man bestimme die Basisübergangsmatrix von B1 zur Basis B2 und umgekehrt

Answer 1

HIer mal die 1.

a = r(-3) + i*s

2 = r + 5s              (I)

1 = -2r - 2s           (II)

------------------      (II) + 2*(I) = (II)'

2 = r + 5s              (I)

5 = 8s                  (II)'

5/8 = s

in (I)

2 = r + 25/8

16/8 - 25/8 = r

-9/8 = r

a = -3 * (-9/8) + i*5/8

a = 27/8 + (5/8) *i

Mit diesem a  ist u eine Linearkombination von v und w.

2. Basisübergang überlasse ich jemand anderm.