u:=(1,2,−1) und v:=(6,4,2). Zeige, dass der Vektor w=(9,2,7) eine Linearkombination der Vektoren u und v ist.

Question

10. Seien u = (1, 2,−1) und v = (6, 4, 2). Zeigen Sie, dass der Vektor
 w1 = (9, 2, 7) eine Linearkombination der Vektoren u und v ist, der Vektor
 w2 = (4,−1, 8) aber nicht. wie kann man das zeigen?

Answer 1

10. Seien u = (1, 2,−1) und v = (6, 4, 2). Zeigen Sie, dass der Vektor
 w1 = (9, 2, 7) eine Linearkombination der Vektoren u und v ist, der Vektor
 w2 = (4,−1, 8) aber nicht.

wie kann man das zeigen?

Man schreibt den Ansatz 

w = au + bv

und versucht a und b zu berechnen.

Gelingt das, ist w eine Linearkombination von u und v. Kommt man auf einen Widerspruch, ist w keine Lin.komb. von u und v.

Comments

wie kann man den a und b berechnen?

habe eine gleichung auggestellt aber weiss nicht wie weiter:


(9,2,7) = a*(1,2,-1) + b*(6,4,2)

---

Nun schreibst du komponentenweise:

9 = a + 6b         (I)

2 = 2a + 4b       (II)

7 = -a + 2b          (III)

-------------------------------

16 = 8b              (I) + (II) → b=2.
9 = a + 12 → a = -3

Kontrolle in (II)

2 = -6 + 8 stimmt.

(9,2,7) = (-3)*(1,2,-1) + 2*(6,4,2)     
(9,2,7) ist also als Linearkombination geschrieben.