Für Welche Werte a, b von x(a,b,10) R^3 ist er eine Linearkombination von u(1,0,0),v(-1,2,6) und w (1,2,4) R^3?

Question

Aufgabe:

$$\text{ Gegeben sind die Vektoren } u= \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix}, v = \begin{pmatrix} -1\\2\\6 \end{pmatrix} , w= \begin{pmatrix} 1\\2\\4 \end{pmatrix}\text{ aus dem }\R^{3}. \text{ Sei }x=\begin{pmatrix} a\\b\\10 \end{pmatrix} \text{ ein Vektor in }\R^{3}. \\ \text{ Für welche Werte von } a \text{ und } b \in \R \text{ kann }x \text{ als Linearkombination von   }u,w\text{ und }v \text{ dargestellt werden? }$$

Problem/Ansatz:

Wenn ich ein Gleichungssystem aufstelle komme ich auf das Ergebnis a=lamda1, b=6*lamda2 und lamda3 = 10. Das ergibt irgendwie keinen Sinn. Falls mir Jemand erklären könnte, wie man zum richtigen Ergebnis kommt, wäre ich sehr dankbar!

Answer 1

Aloha :)

Die 3 Vektoren \(\vec u\), \(\vec v\) und \(\vec w\) sind linear unabhängig (die Determinante ist ungleich null):

$$\begin{vmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 2 & 2\\0 & 6 & 4\end{vmatrix}=2\cdot4-6\cdot2=-4\ne0$$Sie bilden daher eine Basis des \(\mathbb R^3\). Das heißt, für alle beliebigen \(a,b\in\mathbb R\) gibt es genau eine Linearkombination.

Obwohl das nicht mehr gefordert ist, kann man diese Linearkombination auch ausrechnen:$$\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1 & 1\\0 & 2 & 2\\0 & 6 & 4\end{pmatrix}^{-1}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -2,5 & 1\\0 & -1 & 0,5\\0 & 1,5 & -0,5\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a\\b\\10\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a-2,5b+10\\5-b\\1,5b-5\end{pmatrix}$$Das heißt:$$\begin{pmatrix}a\\b\\10\end{pmatrix}=(a-2,5b+10)\cdot\vec u+(5-b)\cdot\vec v+(1,5b-5)\cdot\vec w$$

Comments

Dankeschön! Mit deiner Antwort, klingt es plötzlich so offensichtlich. :-)