f(x)= -((2a/x) - (a^2/x^2)). lokales Minimum in x=a zeigen.

Question

Sei a> 0. Zeigen Sie, dass f:(0, unendlich) nach R mit f(x)= -((2a/x) - (a^2/x^2)) in x=a ein lokales Minimum besitzt.

Ich habe leider keine Idee wie ich das zeigen soll :(

Answer 1

1. Zeige f'(a) = 0

2. Zeige f''(a) > 0

Gruß

Answer 2

f ( x ) =  - ( (2a/x) - (a²/x²) )
f ( x ) =  - ( 2a/x ) + (a²/x²)
f ´ ( x ) =  2a / x^2 - a² *2 * x / x^4
f ´ ( x ) =  2a / x^2 - a² *2 / x^3
Minimum in x = a ?
f ´ ( a ) =  2a / a^2 - a² *2 / a^3
f ´ ( a ) =  2 / a - 2 / a  = 0
x = a ist ein Extremwert
Monotonie > 0
f ´ ( x ) =  2a / x^2 - a² *2 / x^3  > 0
2a / x^2 * ( 1 - a / x ) > 0
da a > 0 ist 2a/x^2 auch stets positiv
1 - a / x > 0
a / x < 1
Damit a / x < 1 wird muß x > a sein.
Bei x > a ist die Steigung positiv. a ist ein
Extrempunkt. Also ein Minimum.

Mit der 2.Ableitung ist es wahrscheinlich einfacher
f ´ ( x ) =  2a / x² - a² *2 / x³
f ´´ ( x ) =  - 2a *2*x/ x^4 + a² *2 *3*x^2/ x^6
f ´´ ( x ) =  -4 a/ x^3 + 6 * a² / x^4
f ´´( a ) = -4 * a / a^3 + 6 * a^2 / a^4
f ´´( a ) = -4 / a^2   +  6 / a^2 
f ´´( a ) = ist stets positiv. x = a ist min.

Answer 3

Hi, wegen
$$ f\left(x\right) = - \left(\frac { a }{ x }-\frac { a^2 }{ x^2 }\right) = \left(\frac { a }{ x }-1\right)^2-1 $$ist der Punkt ( a, f(a) ) offensichtlich sogar der absolute Tiefpunkt des Graphen von f.

(Das kannst Du gerne noch durch Ableiten überprüfen.)

Comments

$$ f\left(x\right) = - \left(\frac { 2a }{ x }-\frac { a^2 }{ x^2 }\right) = \left(\frac { a }{ x }-1\right)^2-1 $$

Leider habe ich oben eine 2 verloren, daher hier noch die richtige Fassung. Ich hoffe, es wird deutlich, dass der Lösungsweg nach Schema F mithilfe der Differentialrechnung hier der mit Abstand aufwändigste ist. Schließlich ist klar, dass die Funktionswerte dann am kleinsten sind, wenn wenn das Quadrat rechts Null wird und dies ist genau für x=a der Fall.

Answer 4

f(x) = - (2·a/x - a^2/x^2) = a^2·x^{-2} - 2·a·x^{-1}

f'(x) = -2·a^2·x^{-3} + 2·a·x^{-2} = 2·a/x^2 - 2·a^2/x^3 = 0

2·a·x - 2·a^2 = 0

2·a·x = 2·a^2

x = a

Nun noch Zeigen, dass dies ein Minimum ist.

Answer 5

f(x) = -2a/x   +a^2/x^2    am einfachsten ist wohl, wenn du statt 1/x  x^{-1} schreibst
dann   f(x) =  -2a*x^{-1}   +   a^2 * x^{-2} 
dann f ' ( x) =   -2a * (-1) * x^{-2}   +  a^2 * (-2) * x^{-3} 
und wenn du hier einsetzt
f ' (a) =  -2a * (-1) * a^{-2}  +    a^2 * (-2) * a^{-3}
            =  2/a      + 2/a  = 0
ähnlich zeigst du  f ' ' (a) > 0 also Min.

Comments

danke für eure Hilfe. ihr habt mir echt geholfen. ich habe ja so gezeigt, dass a ein Minimum ist, aber nicht dass es ein lokales ist. wie zeigt man das genau? kennt ihr einen Satz?

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Der Satz mit f '(a)=0 und f ' ' (a) > 0 im Inneren des Def. bereiches

(auch das ist erfüllt, weil a>0 und also im Inneren desDefinitionsbereich)

sagt immer nur, dass es ein LOKALES Minimum ist.