Skalarprodukt bei trigonometrischem Polynom

Question

In der Vorlesung wurde das Skalarprodukt und die Norm periodischer Funktionen wie folgt definiert:

\( \langle f, g\rangle=\frac{1}{2 \pi} \int \limits_{0}^{2 \pi} \bar{f}(x) g(x) d x, \quad\|f\|=\sqrt{\langle f, f\rangle} \)

Sei \( f \) ein trigonometrisches Polynom, d.h.

\( f(x)=\sum \limits_{k=-n}^{n} c_{k} e^{i k x}=a_{0}+\sum \limits_{k=1}^{n}\left(a_{k} \cos (k x)+b_{k} \sin (k x)\right) \)

Zeige, dass

\( \|f\|^{2}=\sum \limits_{k=-n}^{n}\left|c_{k}\right|^{2}=\left|a_{0}\right|^{2}+\frac{1}{2} \sum \limits_{k=1}^{n}\left(\left|a_{k}\right|^{2}+\left|b_{k}\right|^{2}\right) \)

gilt.

Comments

Induktion bietet sich hier an.

Answer 1

Hi, was Du brauchst sind die folgenden Gleichungen
$$ (1) \quad \int_0^{2\pi} cos(nx)\cdot cos(mx) dx = \int_0^{2\pi} sin(nx)\cdot sin(mx) dx= 0 $$ für \( n \ne m \)
$$  (2) \quad \int_0^{2\pi} cos(nx)\cdot sin(mx) dx = 0 $$ für alle \( n \) und \( m \)
$$  (3) \quad \int_0^{2\pi} cos^2(nx)\cdot dx = \int_0^{2\pi} sin^2(nx)\cdot dx = \pi $$
Es gilt
$$ \| f \|^2=\frac{1}{2\pi} \sum_{k=-n, \atop{l=-n}}^n \overline{c_k} c_l \int_0^{2\pi} e^{ilx}e^{-ikx}dx = \sum_{k=-n}^n |c_k|^2 $$
wegen (1), (2) und (3)

Durch Koeffizientenvergleich folgt \( c_0=a_0  \) und \( c_n=\frac{a_n-ib_n}{2}  \) und \( c_{-n}=\overline{c_n }  \)
Damit gilt
$$ |c_n|^2 = \frac{a_n-ib_n}{2} \frac{a_n+ib_n}{2}=\frac{1}{4} \left( a_n^2+b_n^2  \right)  $$
Also
$$ \|f\|^2=|a_0|^2+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( a_n^2+b_n^2 \right)  $$
Das ganze nennt sich Parsevalsche Gleichung.
Hier noch ein Link
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Eck-WS0809/kap3-4.pdf