Hi, was Du brauchst sind die folgenden Gleichungen
$$ (1) \quad \int_0^{2\pi} cos(nx)\cdot cos(mx) dx = \int_0^{2\pi} sin(nx)\cdot sin(mx) dx= 0 $$ für \( n \ne m \)
$$ (2) \quad \int_0^{2\pi} cos(nx)\cdot sin(mx) dx = 0 $$ für alle \( n \) und \( m \)
$$ (3) \quad \int_0^{2\pi} cos^2(nx)\cdot dx = \int_0^{2\pi} sin^2(nx)\cdot dx = \pi $$
Es gilt
$$ \| f \|^2=\frac{1}{2\pi} \sum_{k=-n, \atop{l=-n}}^n \overline{c_k} c_l \int_0^{2\pi} e^{ilx}e^{-ikx}dx = \sum_{k=-n}^n |c_k|^2 $$
wegen (1), (2) und (3)
Durch Koeffizientenvergleich folgt \( c_0=a_0 \) und \( c_n=\frac{a_n-ib_n}{2} \) und \( c_{-n}=\overline{c_n } \)
Damit gilt
$$ |c_n|^2 = \frac{a_n-ib_n}{2} \frac{a_n+ib_n}{2}=\frac{1}{4} \left( a_n^2+b_n^2 \right) $$
Also
$$ \|f\|^2=|a_0|^2+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^n \left( a_n^2+b_n^2 \right) $$
Das ganze nennt sich Parsevalsche Gleichung.
Hier noch ein Link
http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/studium/infomat/HM-Eck-WS0809/kap3-4.pdf