Uneigentliches Integral 1/sqrt(x+3)

Question

ich möchte diesen Term nach der Substitutionsmethode ableiten.

$$ \frac{1}{\sqrt{x+3}} $$

Ich habe es mit $$ x= -3*sin^2(x) $$ ,sowie $$ z=x+3 $$ probiert. Das war leider nicht zielführend.

Das Ergebnis müsste $$ 2*\sqrt{x+3} $$ sein

Comments

was möchtest Du, ableiten oder integrieren?

Answer 1

Hi,

Substitution ;)

$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ \sqrt { x+3 } }dx $$
$$ u=x+3 $$
$$ u'=1 $$
$$ dx=\frac { du }{ u' } $$
$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ \sqrt { u } }\frac { du }{ u' } $$
$$ \int_{}^{}\frac { 1 }{ \sqrt { u } }\frac { du }{ 1 } $$
$$ 1\int_{}^{} \frac { 1 }{ \sqrt { u } }du=[2\sqrt { u }]$$
$$ 2\sqrt { x+3 }+C $$

Beachte: Notationstechnisch (oder wie das auch heißt Oo^^) könnten da Fehler sein. Deshalb selber nochmal nachrechnen. Die Stammfunktion stimmt aber.

PS: Angaben dennoch ohne Gewähr, da ich die Integralrechnung noch nicht hatte.

Answer 2

ich seh schon, Du willst durch Substitution integrieren:
1. substituiere z=x+3 2. leite z ab schreibe das aber in dieser Schreibweise auf: $$ \frac { dz}{ dx }=1 $$
3. forme nun nach dz um: $$ dz=dx $$
4. ersetze nun im Integral x+3 mit z und dx mit dz: $$ \int_{}^{} \frac{1}{\sqrt{z}}dz$$
5. dieses Integral ist nun einfach, forme zunächst in Potenzschreibweise um: $$ \int_{}^{} z^{-\frac{1}{2}}dz$$
6. Addiere 1 zum Exponenten und schreibe danach den Kehrwert des neuen Exponenten als Faktor vor z: $$ \int_{}^{} z^{-\frac{1}{2}}dz=\frac{1}{\frac{1}{2}}z^{\frac{1}{2}}=2\cdot z^{\frac{1}{2}}= 2 \sqrt{z}$$
7. resubstituiere nun z = x+3: $$2 \sqrt{x+3}$$
8. fertig :)

Comments

plus C versteht sich :)

Answer 3

1 / √ ( x + 3 )
( x + 3 )^{-1/2}

Integrieren allgemein
∫ term^n = term^{n+1} / ( n + 1 )

∫ ( x + 3 )^{-1/2} = ( x+ 3 )^{-1/2+1} / ( -1/2  + 1 )
( x + 3)^{1/2} / (1/2 )
2 * ( x + 3 )^{1/2}
2 * √ ( x + 3 )