Für welche a ∈ℝ mit a größer 0 hat der Graph der Funktion fa in den
Schnittpunkten mit der x -Achse Tangenten, die zueinander orthogonal
sind ? Bestimmen Sie auch den Schnittpunkt der Tangenten .
fa ( x ) = a * x^2 - 5ax + 4a
fa ´( x ) = 2 * a * x - 5a
Da a > 0 handelt es sich um eine noch oben geöffnete Parabel.
Da die Tangenten senkrecht aufeinanderstehen sollen müssen
die Tangenten die Steigung -45 ° bzw. 45 ° haben. Nur zwischen
diesen Tangenten ist der Winkel 90 °.
a * x^2 - 5ax + 4a = 0
a * ( x^2 - 5x + 4 ) = 0
x^2 - 5x + 4 = 0
x^2 - 5x +2.5^2 = - 4 + 6.25 = 2.25
( x - 2.5 )^2 = 2.25
x - 2.5 = ±1.5
x = 4
x = 1
N ( 4 | 0 )
N ( 1 | 0 )
fa ´( x ) = 2 * a * x - 5a
fa ´( 4 ) = 2 * a * 4 - 5a = tan (45) = 1
2 * a * 4 - 5a = 1
8a - 5a = 1
3a = 1
a = 1/3
Der Schnittpunkt der Tangenten liegt in der MItte der Nullpunkte
bei x = 2.5
Von x = 1 sind es 1.5 Einheiten bis zum Schnittpunkt.
Bei einer Steigung von -1 ist delta y = -1 * 1.5 = -1.5
S ( 2.5 | -1.5 )