Orthogonale Tangenten finden

Question

Für welche a ∈ℝ mit a größer 0   hat der Graph der Funktion fa in den Schnittpunkten mit der x -Achse Tangenten, die zueinander orthogonal sind ? Bestimmen Sie auch den Schnittpunkt der Tangenten .

fa(x) = ax^2 -5ax +4a

Habe leider keine idee

Comments

Habe jetzt doch eine Idee.  Die diskriminante in der p und q formel größer null setzten,  da ich ja zwei nullstellen brauche,  wegen 2 tangenten .   Dann das a ermitteln und dann mal weiter schauen .  Ist die idee richtig ?

Answer 1

Hi,
1. Nullstellen der Funktionsschar berechen, also fa(x) = 0 (Das sind die Schnittpunkte mit der x-Achse).
2.Steigung der Tangente an diesen Stellen mit der 1.Ableitung berechnen. Nennen wir sie mal m1 und m2
3. Damit die beiden Tangenten orthogonal sind muss gelten m1*m2 = -1. Einsetzen und a berechnen.
4. Mit der Steigung und den Nullstellen kann man für beide Tangenten die zugehörige Tangentengleichung bestimmen. Den x- Wert des Schnittpunkts der Tangenten kriegt man durch gleichsetzen der beiden Gleichungen und auflösen nach x.
Gruß

Comments

Alles klar,, danke schön

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Habe           ax^2-5ax+4a = 0    /   durch a

x^2 -5ax+4a  = 0

Das dann in die p und q Formel getan .  Die diskriminate größer null gesetzt und erhalte  a kleiner 1,56

Das heißt ja jetzt , dass es zwei Nullstellen gibt im Bereich von 0,1 bis 1,56  .     Welches a soll ich denn jetzt davon nehmen um die steigung zu berechnen ??????

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Wenn du durch a teilst musst du alle Summanden durch a teilen.

ax^2 -5ax + 4a = 0 |:a

x^2 - 5x + 4 = 0

Die Nullstellen sind also vollkommen unabhängig vom Parameter a.

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achso ok,, ich dachte das ist wie 1 durch 1 ,, dann würde ja auch die 1 bleiben,, aber ok dann weiß ich jetzt bescheid , dankkkkkeeeee

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Bist du dir sicher das es so richtig ist. weil die sind nicht orthogonal zueinander  ???

f´(4) = 3 

f´(1) = -3 

3 * -3 =  nicht -1  

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Die Steigungen müssen abhängig sein vom Parameter a, den du vergessen hast.

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bedeutet :      3a * -3a = -1

a = 1/9    ???

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a*(-a) = -a^2

Dir fehlen ein paar Grundlagen oder sind das nur Flüchtigkeitsfehler?

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flüchtigkeitsfehler,, ist mir auch gerade aufgefallen :-)      

Answer 2

Für welche a ∈ℝ mit a größer 0   hat der Graph der Funktion fa in den
Schnittpunkten mit der x -Achse Tangenten, die zueinander orthogonal
sind ? Bestimmen Sie auch den Schnittpunkt der Tangenten .

fa ( x ) = a * x^2 - 5ax + 4a
fa ´( x ) = 2 * a * x - 5a

Da a > 0 handelt es sich um eine noch oben geöffnete Parabel.

Da die Tangenten senkrecht aufeinanderstehen sollen müssen
die Tangenten die Steigung -45 ° bzw. 45 ° haben. Nur zwischen
diesen Tangenten ist der Winkel 90 °.

a * x^2 - 5ax + 4a = 0
a * ( x^2 - 5x + 4 ) = 0
x^2 - 5x + 4 = 0
x^2 - 5x +2.5^2 = - 4  + 6.25 = 2.25
( x - 2.5 )^2 = 2.25
x - 2.5 = ±1.5
x = 4
x = 1

N ( 4  | 0 )
N ( 1  | 0 )

fa ´( x ) = 2 * a * x - 5a
fa ´( 4 ) = 2 * a * 4 - 5a = tan (45) = 1
2 * a * 4 - 5a = 1
8a - 5a = 1
3a = 1
a = 1/3

Der Schnittpunkt der Tangenten liegt in der MItte der Nullpunkte
bei x = 2.5
Von x = 1 sind es 1.5 Einheiten bis zum Schnittpunkt.
Bei einer Steigung von -1 ist delta y = -1 * 1.5 = -1.5
S ( 2.5  | -1.5 )