Untersuchen einer Folge auf Konvergenz und wohldefiniert

Question

Untersuchen Sie, ob die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{1}=0 \) und \( a_{n+1}=\frac{1}{4-3 a_{n}} \) für alle \( n \in \mathbb{N} \) wohldefiniert und konvergent ist. Geben Sie gegebenenfalls den Grenzwert an.

wie untersuche ich diese Folge auf Konvergenz und wie zeigt man ob die Folge wohldefiniert ist?

Danke für die Hilfe

Answer 1

Hi,
Du musst Monotonie und Beschränkheit zeigen, dann konvergiert die Folge
(1) Beschränktheit
Beh. \( a_n < 1 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)
Es gilt \( a_1 = 0 < 1 \). Es gelte jetzt \( a_n < 1 \) dann folgt
$$ 4-3a_n > 1  $$ also $$ a_{n+1}=\frac{1}{4-3a_n}<1  $$Damit gilt \( a_n < 1 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \)

(2) Monotonie
Es gilt \( a_2=\frac{1}{4}>a_1=0 \)
Es gelte \( a_{n+1} \ge a_n \) zu zeigen ist, dass auch \( a_{n+2}\ge a_{n+1} \) gilt.
Es gilt \( 4-3a_{n+1} \ge 4-3a_n \) und wegen \( 4-3a_{n+1} >1 \) gilt auch
$$ a_{n+2}=\frac{1}{4-3a_{n+1}} \ge \frac{1}{4-3a_{n}}=a_{n+1}  $$
Also ist die Folge monoton wachsend und damit insgesamt konvergent.

Der Grenzwert berechnet sich aus
$$ x=\frac{1}{4-3x}  $$ zu \( x_1=1 \) und \( x_2=\frac{1}{3} \)
Da die Folge strikt kleiner \(1 \) ist, folgt \( x_2=\frac{1}{3} \) ist der Grenzwert.