Ich verstehe nur nicht woher die -0,75 (ganz unten im Aufgabentext) kommt:
Zeigen Sie, dass die Graphen von \( f_{a} \) und \( f_{a}^{\prime} \) genau einen Schnittpunkt \( S_{a} \) haben, und berechnen Sie seine Koordinaten in Abhängigkeit von a.
Geben Sie die Gleichung der Funktion \( g \) an, auf deren Graph alle Schnittpunkte \( S_{a} \) liegen. Bestimmen Sie den Wert von \( a \), für den sich die Graphen von \( f_{a} \) und \( f_{a}^{\prime} \) rechtwinklig schneiden.
[Zur Kontrolle: \( \left.S_{a}\left(0,5-a \mid 0,5 \cdot e^{-(0,5-a)}\right)\right] \)
Modellösung:
Untersuchung der Graphen von \( f_{a} \) und \( f_{a}^{\prime} \) auf Schnittpunkte:
\( f_{a}(x)=f_{a}^{\prime}(x) \Leftrightarrow(x+a) \cdot e^{-x}=(-x+1-a) \cdot e^{-x} \Leftrightarrow x=0,5-a \text {, da } e^{-x} \neq 0 \)
\( x=0,5-a \) ist die einzige Schnittstelle der Graphen
\( f_{a}(0,5-a)=f_{a}^{\prime}(0,5-a)=0,5 \cdot e^{-(0,5-a)} ; \text { Schnittpunkt } S_{a}\left(0,5-a \mid 0,5 \cdot e^{-(0,5-a)}\right) \)
Bestimmung des Parameters \( a \), für den sich die Graphen rechtwinklig schneiden. Steigung der Tangenten an die beiden Graphen im Punkt \( S_{a} \):
\( \begin{array}{l} m_{1}=f_{a}^{\prime}(0,5-a)=(-0,5+a+1-a) \cdot e^{-0,5+a}=0,5 \cdot e^{-0,5+a} \\ m_{2}=f_{a}^{\prime \prime}(0,5-a)=(0,5-a-2+a) \cdot e^{-0,5+a}=-1,5 \cdot e^{-0,5+a} \end{array} \)
Es muss gelten: \( m_{1} \cdot m_{2}=-1 \)
\( \begin{array}{l} \left.0,5 \cdot e^{-0,5+a} \cdot\left(-1,5 \cdot e^{-0,5+a}\right)=-1 \Leftrightarrow \textcolor{#F00}{-0,75} \right) e^{-1+2 a}=-1 \\ \Leftrightarrow e^{2 a-1}=\frac{4}{3} \Leftrightarrow 2 a-1=\ln \frac{4}{3} \Leftrightarrow a=0,5 \cdot \ln \frac{4}{3}+0,5 \approx 0,64 \end{array} \)
Für \( a \approx 0,64 \) schneiden sich die Graphen von \( f_{a} \) und \( f_{a}^{\prime} \) im rechten Winkel.
