Exponentialaufgabe. f(x) : = x-2 + 2e^{-0.5x}, x € R. Kurvendiskussion.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

\( \mathrm{f}: \mathrm{x} \mapsto \mathrm{x}-2+2 \mathrm{e}^{-0,5 \mathrm{x}} \) mit \( \mathrm{x} \in \mathbb{R} \)
Ihr Graph ist \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \).

1a) Untersuchen Sie das Verhalten von \( \mathrm{f}(\mathrm{x}) \) für \( |\mathrm{x}| \rightarrow \infty \).

1b) Untersuchen Sie das Monotonieverhalten von \( \mathrm{f} \) anhand der \( 1 . \) Ableitung.

1c) \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) hat genau einen Extrempunkt. Geben Sie Art und Lage des Extrempunktes an.

1d) Zeigen Sie, dass die Gerade \( \mathrm{y}=\mathrm{x}-2 \) Asymptote des Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) ist.

1e) Skizzieren Sie unter Berücksichtigung der bisherigen Ergebnisse den Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \). Tragen Sie darin auch die Asymptote \( \mathrm{y}=\mathrm{x}-2 \) ein.

2. Die Gerade \( \mathrm{y}=\mathrm{a} \) mit \( \mathrm{a} \geq 2 \) schließt mit dem Graphen \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \), der Geraden \( y=x-2 \) und der \( x \)-Achse eine Figur mit dem Flächeninhalt A ein.

2a) Ergänzen Sie die in 1e) angelegte Skizze entsprechend.

2b) Berechnen Sie A in Abhängigkeit von a.

2c) Hat A für \( a \rightarrow \infty \) einen Grenzwert?

Begründung durch Rechnung.

Answer 1

Was verstehst du denn nicht ?

f(x) = 2·e^{- 0.5·x} + x - 2

Gerade aus der Skizze sollten doch schon fast alle Antworten ablesbar sein.

1 a)

Was passiert wenn du sehr kleine oder sehr große Zahlen in die Funktion einsetzt.

lim (x → -∞) 2·e^{- 0.5·x} + x - 2 = ∞

lim (x → ∞) 2·e^{- 0.5·x} + x - 2 = ∞

Wenn du sehr kleine Werte oder sehr große Werte einsetzt kommen ganz große Werte heraus.

Am Graphen zu erkennen weil er aus dem 2. Quadranten in den 1. Quadraten verläuft.

1 b)

f'(x) = 1 - e^{- x/2}

Wo ist das jetzt <= 0 oder >= 0

f'(x) = 1 - e^{- x/2} >= 0 → x >= 0 für x >=0 ist die Funktion streng monoton steigend. Für x <= 0 ist sie streng monoton fallend.

2 b)

∫ (0 bis 2) (2·e^{- 0.5·x} + x - 2) dx + ∫ (2 bis a) (2·e^{- 0.5·x}) dx = 2 - 4·e^{- 0.5·a}

2 c)

Man hat für a → ∞ einen Grenzwert, weil

2 - 4·e^{- 0.5·a} für a → ∞ ergibt den Wert 2.