Untersuchung auf Monotonie

Question

Gegebene Funktion = f(x) := x²

Intervalle : I1[0, ∞]   I2[-∞, 0]   I3[-∞, ∞]

Ich soll nun auf Monotonie Untersuchen: Ich soll begründen und auch angeben wenn eine Monotonie vorliegt, um welche Art es sich handelt. Also Streng Monoton steigend /fallend etc.

Die voraussetzungen für die Monotonien sind mir bekannt aber wie zeige ich das jetzt genau, es gibt ja 4 fälle für die Monotonie: Monoton wachsend / streng wachsend und Monoton fallend / streng fallend.

Answer 1

Die voraussetzungen für die Monotonien sind mir bekannt

Das ist ja schön, dass sie dir bekannt sind. Aber wie wendet ihr sie konkret an?

(Erste Ableitung auswerten oder anders?)

Comments

Text erkannt:

monoton wachsend, falls
\( \forall x, y: x \leq y \Longrightarrow f(x) \leq f(y) \)
streng monoton wachsend, falls
\( \forall x, y: x<y \Longrightarrow f(x)<f(y) \)
monoton fallend, falls
\( \forall x, y: x \leq y \Longrightarrow f(x) \geq f(y) \)
streng monoton fallend, falls
\( \forall x, y: x<y \Longrightarrow f(x)>f(y) \)

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Aha.

Nehmen wir mal dein erstes Intervall [0;∞].

Sei x<y.

Es gilt für diese Funktion f(y)-f(x) = y²-x².

Nach dritter binomischer Formel kann man das in (y-x)(y+x) umschreiben.

Der Faktor (y-x) ist nach der Voraussetzung x<y positiv.

Da sowohl x und y hier in unserem Intervall [0;∞]. liegen, ist auch ihre Summe (x+y) positiv.

Also ist im Intervall [0;∞] für x<y die Differenz y²-x²=(y-x)(y+x) IMMER POSITIV.

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oh man, ich habs verstanden, aber da so drauf zu kommen muss ich erstmal lernen..., dennoch haben sie vielen dank!