Berechnen Sie w=\frac{z_{1}}{2_{2}} mithife der Polardarstellung!

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die beiden komplexen Zahlen

\( z_{1}=6 e^{\frac{5 \pi i}{6}} \) und \( z_{2}=3 i+3^{\frac{3}{2}} \)

Berechnen Sie \( w=\frac{z_{1}}{z_{2}} \) mithife der Polardarstellung.

Lösung: \( \omega = |\omega| \cdot e^{i \varphi} \), wobei \( |\omega|=1, \varphi=\frac{2}{3} \pi \)

Können Sie bitte mir der Lösungweg zeigen?

Answer 1

Aloha :)

Der Wert \(z_1=6e^{i\,\frac56\pi}\) liegt schon in Polardarstellung vor.

Den Wert \(z_2=3^{\frac32}+3i\) rechnen wir noch um:$$|z_2|=\sqrt{\left(3^{\frac32}\right)^2+3^2}=\sqrt{3^3+3^2}=\sqrt{36}=6$$$$\operatorname{arg}(z_2)=\arccos\frac{\operatorname{Re}(z_2)}{|z_2|}=\arccos\frac{3^{\frac32}}{6}=\frac{\pi}{6}$$Damit haben wir \(z_2\) in Polarkoordinaten:$$z_2=3^{\frac32}+3i=6e^{i\frac16\pi}$$Damit können wir den Quotienten wie folgt berechnen:$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{6e^{i\,\frac56\pi}}{6e^{i\frac16\pi}}=e^{i\frac46\pi}=e^{i\frac23\pi}$$