richtig oder falsch? beweis oder gegenbeispiel

Question

a) a_n → a ⇔ a_n+1 - a_n → 0

b) 0 < a_n² < a_n ⇔ a_n → 0

c) a_n → a ⇔ a_2n+1 → a

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$$\text{Gegenbeispiel zu a): }a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k.$$

Answer 1

Hi,
bei (b) betrachte die Folge \( a_n=-\frac{1}{n} \) Es gilt \( a_n \to 0 \) aber
$$ -\frac{1}{n} < \frac{1}{n^2} $$

bei (c)
Wenn die Folge \( a_n \) konvergiert, dann auch jede Teilfolge. \( a_{2n+1}  \) ist eine Teilfoge und konvergiert deshalb ebenfalls gegen \( a \)

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Und die Rückrichtung bei c)?

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nehme \( a_n=(-1)^n \) dann ist \( a_{2n+1}=(-1)^{2n+1} = -1 \)

D.h. die Teilfolge \( a_{2n+1} \) konvergiert und die Ausgangsfolge \( a_n \) konvergiert nicht.