Gegenbeispiel zu a) : an=∑k=1n1k.\text{Gegenbeispiel zu a): }a_n=\sum_{k=1}^n\frac1k.Gegenbeispiel zu a) : an=k=1∑nk1.
Hi,bei (b) betrachte die Folge an=−1n a_n=-\frac{1}{n} an=−n1 Es gilt an→0 a_n \to 0 an→0 aber−1n<1n2 -\frac{1}{n} < \frac{1}{n^2} −n1<n21bei (c)Wenn die Folge an a_n an konvergiert, dann auch jede Teilfolge. a2n+1 a_{2n+1} a2n+1 ist eine Teilfoge und konvergiert deshalb ebenfalls gegen a a a
Und die Rückrichtung bei c)?
nehme an=(−1)n a_n=(-1)^n an=(−1)n dann ist a2n+1=(−1)2n+1=−1 a_{2n+1}=(-1)^{2n+1} = -1 a2n+1=(−1)2n+1=−1
D.h. die Teilfolge a2n+1 a_{2n+1} a2n+1 konvergiert und die Ausgangsfolge an a_n an konvergiert nicht.
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