Wie funktioniert die Restgliedabschätzung bei Taylorfunktionen?

Question

Wobei x im Intervall -1 bis 1 liegt und es sich um f(x)=cos(x) handelt. Hilfe!

Brauche mal eine allgemeine Erklärung der Formel und des systems dahinter.

Ich solle die Abschätzung des Restgliedes R n durchführen, aber habe leider keine Idee.

Answer 1

Hi,
die Taylorreihe für die Kosinusfunktion um $x=0$ sieht so aus
$$cos(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+R_n(x,\xi)$$ mit
$$R_n(x,\xi)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}x^{n+1}$$
und $\xi \in [0,x]$ sowie $$f(x)=cos(x)$$
Da die höheren Ableitungen der Kosinusfunktion entweder wieder den Sinus oder den Kosinus ergeben, die aber beide betragsmäßig kleiner 1 sind, ergibt sich für $x\in [-1,1]$
$$\left| R_n(x,\xi) \right| \le \frac{1}{(n+1)!}$$