Wert der Reihe berechnen, falls diese konvergiert. Σ (k+3) /(k(k+1)(k+2))

Question

Hier wieder eine Aufgabe für euch:

Σ (k+3) /(k(k+1)(k+2))

$$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \frac { k+3 }{ k(k+1)(k+2) }  } $$

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Versuche mal eine Partialbruchzerlegung zu machen. Suche dann nach Möglichkeiten sie teleskopmässig zusammenzuschieben.

Vgl.: ähnliche Fragen.

Achtung: Hab es noch nicht fertig gerechnet. Daher keine Garantie, dass es klappt. Konvergieren sollte die Reihe aber, da der Grad des Nenners (3) um mehr als 1 grösser ist als der des Zählers (1).

Answer 1

Die Summanden kannst du etwas umformen:

(k+3)/(k*(k+1)*(k+2)) =    1/(k*(k+1)*(k+2))     + (k+2)/(k*(k+1)*(k+2))

                    = 1/(k*(k+1)*(k+2))     + 1/(k*(k+1))
Dann machst du einfach 2 Summen daraus ; denn die konvergieren beide,
(kannst du leicht mit Quot.krit zeigen)

Die zweite Summe bis n kannst du dir auch so vorstellen:
1/(1*2)   +   1/(2*3)    +    1 / (3*4)    etc     +  1/ (n*(n+1))
und diese Brüche sind immer auch Differenzen
(1 - 1/2)  +  ((1/2)-(1/3)) +  ((1/3)-(1/4)) +  ......   ((1/n) -1/(n+1))
und dabei ist immer der zweite Bruch in der einen Differenz der gleiche
wie der erste Bruch in der folgenden Differenz. Die heben sich alle gegenseitig auf
und du hast    1-1/(n+1) für die Summe, also für n gegen unendlich eine 1.

Die erste Summe ist was kniffliger, da findest du z.B. bei
http://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=109319&ref=http%3A%2F%2Fwww.google.com%2Furl%3Fsa%3Dt%26rct%3Dj%26q%3D%26esrc%3Ds%26source%3Dweb%26cd%3D1%26ved%3D0CB8QFjAA

dass das Ergebnis 1/4 ist.

Wäre dann insgesamt 5/4.

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Hat alles geklappt :)

Answer 2

Partialbruchzerlegung liefert$$\quad\sum_{k=1}^N\frac{k+3}{k(k+1)(k+2)}=\frac12\sum_{k=1}^N\left(\frac3k-\frac4{k+1}+\frac1{k+2}\right)$$$$=\frac32\sum_{k=1}^N\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)-\frac12\sum_{k=1}^N\left(\frac1{k+1}-\frac1{k+2}\right)$$$$=\frac32\left(\frac11-\frac1{N+1}\right)-\frac12\left(\frac12-\frac1{N+2}\right)$$$$=\frac54-\frac12\left(\frac3{N+1}-\frac1{N+2}\right).$$Bilde nun den Grenzwert für \(N\to\infty\).

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Hi, wie kommst du von der zweiten in die dritte Zeile?