Entscheiden Sie, ob für die in a) bis c) aufgeführten \( f: \Omega \times G \rightarrow \mathbb{R} \) die Funktion \( f(\cdot, y) \) für alle \( y \in G \) Lebesgue-integrierbar über \( \Omega \) ist. Wenn ja, dann entscheiden Sie jeweils, ob die durch
\( g(y):=\int \limits_{\Omega} f(x, y) d \lambda_{1}(x) \quad(y \in G) \)
definierte Funktion differenzierbar ist und bestimmen Sie gegebenenfalls ihre Ableitung (sollten sich Integrale, die bei der Bestimmung der Ableitung auftreten, nicht elementar lösen lassen, reicht es, nachzuweisen, dass die Integranden integrierbar sind).
a) \( \Omega=(0, \infty), \quad G=(0, \infty), \quad f(x, y):=x^{y-1} e^{-x} \)
b) \( \Omega=(-1,1) \backslash\{0\}, \quad G=\mathbb{R}, \quad f(x, y):=\sin \frac{y}{x} . \)
c) \( \Omega=(0,1), \quad G=\mathbb{R}, \quad f(x, y):=y^{2} x^{y^{2}-1} \)
