Stetigkeit von Funktionen beweisen und zeichnen

Question

Aufgabe:

Wir definieren die Funktion \( f \) durch

\( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, \quad x \mapsto\left\{\begin{array}{ll} \sin \left(\frac{1}{x}\right), & \text { falls } x \neq 0 \\ 0, & \text { falls } x=0 \end{array}\right. \)

(a) Beweisen Sie, dass die Funktion \( f \) im Punkt \( x_{0}=0 \) unstetig ist.

(b) Beweisen Sie, dass die Funktion \( g: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, x \mapsto x f(x) \) stetig ist.

(c) Skizzieren Sie den Graphen von \( f \).

(d) Skizzieren Sie den Graphen von \( g \).

Answer 1

Hi,
zu (a)
wenn die Funktion

$$ f(x)=\begin{cases}   sin\left( \frac{1}{x} \right)  & \text{wenn } x \ne 0\\   0 & \text{wenn } x=0 \end{cases}  $$

stetig in \( x = 0 \) wäre, gäbe es zu jedem \( \epsilon > 0 \) ein \( \delta > 0 \) s.d. gilt,
$$ |f(x)-f(0)|=|f(x)|<\epsilon $$ für alle x mit \( |x|<\delta \)
Sei \( \epsilon=\frac{1}{2} \)
Zu jedem \( \delta>0 \) gibt es ein \( k\in\mathbb{N} \) mit \(  \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi}<\delta \)
Wähle \( x=  \frac{1}{\frac{\pi}{2}+2k\pi} \) dann gilt
$$ \left|sin\left( \frac{1}{x} \right)\right|=1>\frac{1}{2}  $$ Also ist die Funktion nicht in \( x=0 \) stetig.

zu (b)
für die Funktion \( g(x)=x\cdot f(x) \) gilt,
$$ |g(x)|=|x\cdot f(x)|\le |x|\le \delta  $$
Daraus sieht man das g(x) stetig in \( x=0 \) ist.

zu (c)

zu (d)

Comments

Ich verstehe nicht genau, was du bei b gemacht hast. Kannst du das vielleicht nochmal ausführlicher aufschreiben?

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Bei (b) ist \( |sin(x) \le 1) \), das ist eigentlich alles, deswegen gilt \( |g(x)| \le |x| \)

Answer 2

hier erst einmal die Skizze. Diese gibt recht wenig her
und wären manuell auch nur schwer zu zeichnen

f ( x ) = sin ( 1 / x )
lim x- > 0  [ sin ( 1 / x )  ] = unbestimmt
1/x geht gegen unendlich.
Die sin Funktion schwankt im Unendlichen zwischen -1 und 1.
Es gibt keinen Wert.

g ( x ) = x * f ( x )
lim x- > 0  [ x * sin ( 1 / x )  ] = 0
f ( x ) schwankt zwischen -1 und 1.
x geht gegen 0. Also insgesamt 0.
Und damit entsprechen die Grenzwerte dem
definierten Funktionswert  f ( 0 ) = 0.
Die Funktion ist stetig.
Würde sich auch zeichnen lassen.

Comments

was meinst Du denn mit

lim x- > 0  [ sin ( 1 / x )  ] = unbestimmt

und

Die sin Funktion schwankt im Unendlichen zwischen -1 und 1. Es gibt keinen Wert.

Also die Sinusfunktion hat an jeder Stelle des Definitionsbereiches einen Wert.

Sehr mathematisch ist das ja wohl nicht.

Üblicherweise macht man das mit dem \( \epsilon \)-\( \delta \) Kriterium, siehe meine Antwort. Man sollte sich schon an mathematische Gepflogenheiten halten.

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Ullim, leider muß ich dir sagen das du völlig daneben liegst:

"lim x- > 0  [ sin ( 1 / x )  ] = unbestimmt"
Hää?
und

"Die sin Funktion schwankt im Unendlichen
zwischen -1 und 1. Es gibt keinen Wert."
Also die Sinusfunktion hat an jeder Stelle des Definitionsbereiches einen Wert.
Sehr mathematisch ist das ja wohl nicht.

Welchen Wert hat der sin für lim x -> ∞ [ sin ( x) ]
Der Wert ist unbestimmt weil x = ∞ kein fester Punkt auf
dem Zahlenstrahl ist. Der Wert für sin x oszilliert zwischen
-1 und 1.
Falls du anderer Ansicht bist teile mir bitte den Wert für
lim x -> ∞ [ sin ( x) ] mit.

Daraufzuweisen wäre noch das das
lim x -> ∞ [ sin ( x) ] dasselbe ist wie
lim x- > 0  [ sin ( 1 / x )  ]

Na dann bin ich einmal gespannt auf deine Antwort.

mfg Georg

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Das ist doch alles Quatsch. So kann man doch nicht an eine solche Frage rangehen. Wie gesagt \( \epsilon \)-\( \delta \) Kriterium oder auch mit Nullfolgen. Aber nicht so wie Du das geschrieben hast. Das ist kein Beweis, maximal eine heuristische Betrachtung über die man die Lösung erahnen kann. Mathematik besteht aber nicht aus Ahnungen sondern aus präzisen Formulierungen.