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Weißtannen können bis zu 70 Meter hoch werden. Das Höhenwachstum einer Weißtanne kann näherungsweise durch die Funktion  

h(t) =70 / (1+100e^ (70kt) ) 

beschrieben werden. Dabei ist h(t) die Höhe der Tanne (in Metern) t Jahre nach Beobachtungsbeginn.

a.) Die Tanne hat 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn eine Höhe von 6m erreicht. Wie groß war sie bei Beobachtungsbeginn?

b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten?

c) Ab welchem Zeitpunkt ist die Höhenzunahme innerhalb eines Jahres geringer als 10cm?

habe große Probleme mit b und c, verstehe nicht wie man darauf kommt. habe schon den anderen Thread gelesen aber konnte es da nicht nachvollziehen.

EDIT(Lu) : Formel soeben gemäss Bild im Kommentar korrigiert.

Avatar von

Stimmt dein

  h=701+100e^{79kt} ?

Die Tanne wäre dann zur Zeit t= 0 schon 701 (Einheit?) hoch.

Funktion war falsch, tut mir leid.

Die richtige lautet: h(t)= 70/1+100^e-70*k*t

Das sieht leider immer noch nicht gut aus. Exponent und Klammer um Nenner noch in Ordnung bringen.

Voraus gesetzt Du arbeitest mit der Korrekten Funktion, kann Dir vielleicht folgendes helfen:

Wenn h(t) die Höhe der Tanne ist, dann ist die Wachstumsgeschwindigkeit die Änderung der Höhe über der Zeit, also h'(t). Willst Du nun h'(t) auf Extrema prüfen, setzt Du einfach h''(t)=0.

Für c prüfst Du einfach für welches t Dein h'(t)=10 ist. Bzw. Du ermittelst h'(t)-10=0

Die Gleichung steht so im Buch :(

Kannst du sie mit deinem Handy oder einer Kamera lesbar fotografieren?

Ist es denn nun:

h(t)= 70/(1+100^ (-70*k*t) )  ? 

Im Exponenten im Nenner 79 oder 70? 

Wieso muss ich bei c überprüfen für welches ht 10 ist?


Es tut mir wirklich leid das ich euch so störe, aber ich komme mit diesem Thema überhaupt nicht klar.

Bild MathematikHier ein Bild von der Aufgabe 4.

Kai: Test ohne Leerschlag nach Caret. Siehst du hier hier im Nenner einen Exponenten? Bei mir werden die Klammern nach dem Caret automatisch entfernt.

Kannst du sie mit deinem Handy oder einer Kamera lesbar fotografieren?

Ist es denn nun:

h(t)= 70/(1+100^{-70*k*t })  ?   

Im Exponenten im Nenner 79 oder 70? 

Anmerkung: Ich habe nun im HTML-Code ein ^ dann ( und später ) von Hand eingefügt. Nachdem es erst wegredigiert wurde. Sieht derzeit auf meinem Bildschirm zufriedenstellend aus.

Im Fragetext -HTML sehe ich leider nicht, was ich wo einfügen müssten, um den Leerschlag nach dem Caret entfernen zu können.

1 Antwort

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In welcher Klassenstufe bist Du? Wenn Du schon etwas über Differentialrechnung gehört hast, dann kann Dir mein erster Kommentar schon helfen, dieser ist im Grunde ein allgemeiner Lösungsansatz.

Kennst Du die Differentialrechnung noch nicht, und davon gehe ich jetzt mal aufgrund der Aufgabe aus Deinem Buch aus, dann müssen wir uns zunächst die allgemeine Formel für logistisches Wachstum anschauen. Diese kann man unterschiedlich notieren (siehe Aufgabe 3 in Deinem Foto), schau dir dabei zunächst an, was die einzelnen Koeffizienten bedeuten.

Logistisches Wachstum ist immer beschränkt, hat also ein Obere oder untere Schranke. Diese wir mit S bezeichnet. Ferner gibt es einen Startwert, also einen Wert, wo die Zeit t= 0 ist. Man schreibt dafür f(0) (ausgesprochen: f an der Stelle t = 0, oder einfach f von t). Schließlich gibt es noch die sogenannte Wachstumskonstante k, welche beschreibt, wie sich der Bestand pro Zeitschritt verändert.

Für logistisches Wachstum kann die Wachstumsfunktion nun so aussehen:

$$ f(t)=\frac { S }{ 1+ (\frac{s}{f(0)}-1)e^{-k \cdot S \cdot t} } $$

darin findest du die angesprochenen Koeffizienten. Schauen wir nun auf die gegebene Wachstumsfunktion:

$$ h(t)=\frac { 70 }{ 1+ (100)e^{-70 \cdot k \cdot t} } $$

Wenn Du nun die Positionen vergleichst, kannst Du die Schranke S=70 direkt ablesen. Die Tanne wird also nie größer als 70m werden. Ferner muss nun, ebenfalls nach Koeffizientenvergleich, der Term \( \frac{S}{f(0)}-1 \) gleich 100 sein. Da DU schon weißt, dass S=70 ist, kannst Du dies nach f(0) umstellen uns somit den Anfangswert bestimmen. -> f(0)= 101/70 = 1,443 m.

Um nun noch das k bestimmen zu können, kannst Du die Informationen aus Aufgabe a nutzen und in die Wachstumsgleichung einsetzen:

$$ h(8)=6=\frac { 70 }{ 1+ (100)e^{-70 \cdot k \cdot 8} } $$

dies musst nun nach k umgestellt werden, was Du selbst können solltest. (k=0,004) Damit hast Du nun alle Koeffizienten bestimmt und kannst Dir die Wachstumsfunktion im grafik-fähigenTaschenrechner anzeigen lassen.

Die Wachstumsgeschwindigkeit ist nun dort am größten, wo sich im Graphen der Wendepunkt einstellt, das solltest Du ablesen können. Natürlich kann man das auch rechnerisch machen, doch dafür brauchen wir dann die Differential-Mathematik.

Je nachdem welchen GTR ihr benutzt, kannst Du auch c auf diese Weise am Grafen lösen. Du musst nur jenen Punkt finden, an dem die Steigung der Tangente kleiner 10 wird... Rechnerisch hätte ich auch dafür wieder nur die Differentialrechnung zu bieten...

Hoffe das hilft erst mal.

Avatar von 1,3 k

nicht kleiner 10 sondern kleiner 0,1, da ja nach 10cm gefragt ist ;)

und die Bestimmung von k noch als Foto:Bild Mathematik

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