In welcher Klassenstufe bist Du? Wenn Du schon etwas über Differentialrechnung gehört hast, dann kann Dir mein erster Kommentar schon helfen, dieser ist im Grunde ein allgemeiner Lösungsansatz.
Kennst Du die Differentialrechnung noch nicht, und davon gehe ich jetzt mal aufgrund der Aufgabe aus Deinem Buch aus, dann müssen wir uns zunächst die allgemeine Formel für logistisches Wachstum anschauen. Diese kann man unterschiedlich notieren (siehe Aufgabe 3 in Deinem Foto), schau dir dabei zunächst an, was die einzelnen Koeffizienten bedeuten.
Logistisches Wachstum ist immer beschränkt, hat also ein Obere oder untere Schranke. Diese wir mit S bezeichnet. Ferner gibt es einen Startwert, also einen Wert, wo die Zeit t= 0 ist. Man schreibt dafür f(0) (ausgesprochen: f an der Stelle t = 0, oder einfach f von t). Schließlich gibt es noch die sogenannte Wachstumskonstante k, welche beschreibt, wie sich der Bestand pro Zeitschritt verändert.
Für logistisches Wachstum kann die Wachstumsfunktion nun so aussehen:
$$ f(t)=\frac { S }{ 1+ (\frac{s}{f(0)}-1)e^{-k \cdot S \cdot t} } $$
darin findest du die angesprochenen Koeffizienten. Schauen wir nun auf die gegebene Wachstumsfunktion:
$$ h(t)=\frac { 70 }{ 1+ (100)e^{-70 \cdot k \cdot t} } $$
Wenn Du nun die Positionen vergleichst, kannst Du die Schranke S=70 direkt ablesen. Die Tanne wird also nie größer als 70m werden. Ferner muss nun, ebenfalls nach Koeffizientenvergleich, der Term \( \frac{S}{f(0)}-1 \) gleich 100 sein. Da DU schon weißt, dass S=70 ist, kannst Du dies nach f(0) umstellen uns somit den Anfangswert bestimmen. -> f(0)= 101/70 = 1,443 m.
Um nun noch das k bestimmen zu können, kannst Du die Informationen aus Aufgabe a nutzen und in die Wachstumsgleichung einsetzen:
$$ h(8)=6=\frac { 70 }{ 1+ (100)e^{-70 \cdot k \cdot 8} } $$
dies musst nun nach k umgestellt werden, was Du selbst können solltest. (k=0,004) Damit hast Du nun alle Koeffizienten bestimmt und kannst Dir die Wachstumsfunktion im grafik-fähigenTaschenrechner anzeigen lassen.
Die Wachstumsgeschwindigkeit ist nun dort am größten, wo sich im Graphen der Wendepunkt einstellt, das solltest Du ablesen können. Natürlich kann man das auch rechnerisch machen, doch dafür brauchen wir dann die Differential-Mathematik.
Je nachdem welchen GTR ihr benutzt, kannst Du auch c auf diese Weise am Grafen lösen. Du musst nur jenen Punkt finden, an dem die Steigung der Tangente kleiner 10 wird... Rechnerisch hätte ich auch dafür wieder nur die Differentialrechnung zu bieten...
Hoffe das hilft erst mal.
