Gegeben seien beiden Abbildungen L1, L2:

Question

Aufgabe:

Gegeben seien beiden Abbildungen \( L_{1}, L_{2} \) :

\( \begin{array}{l} L_{1}: \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \mapsto\left[\begin{array}{cc} 2 c-a & a+b \\ d-2 e & 3 e \end{array}\right] \\ L_{2}: \mathbb{R}_{\leq 4}[x] \rightarrow \mathbb{R}^{2,2} ; \quad a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+d x+e \mapsto\left[\begin{array}{cc} c+d & d-1 \\ 2 a-b & 5 c \end{array}\right] \end{array} \)

a) Überprüfen Sie, ob die Abbildungen \( L_{1}, L_{2} \) linear sind.

b) Bestimmen Sie \( \operatorname{Kern}\left(L_{1}\right) \) und seine Dimension.

c) Bestimmen Sie dim \( \left(\operatorname{Bild}\left(L_{1}\right)\right) \).

d) Ist \( L_{1} \) injektiv/surjektiv/bijektiv?

Hinweis: Zur Lösung von c) muss das Bild nicht bestimmt werden.

Answer 1

für die Linearität musst du prüfen:
L1( f+g) = L1(f) + L1(g)    und    L1(k*f) = k*L1(f)

seien a1 bis e1 die koeffizienten von f und a2 bis e2 die von g
dann ist L1(f)=
2c1-a1         a1+b1
d1-2e1            3e1
und L1(g) entsprechend mit 2 statt 1
und es hat f+g die Koeffizienten   a1+a2 ....  bis   e1+e2
also L1(f+g)=
2(c1+c2)-(a1+a2)           (a1+a2)+(b1+b2)
(d1+d2)-2(e1+e2)                3*(e1+e2)

und wenn du die ersten beiden Matrizen addierst, kommt
nach Klammern auflösen und umordnen) das gleiche raus.

ähnlich zeigst du auch L1(k*f) = k*L1(f)

Bei L2 klappt es in der oberen rechten Komponente der
Matrix nicht, also nicht linear.

Kern(L1) sind alle Polynome, die auf die Nullmatrix
  0     0
   0     0
abgebildet werden.
Für so ein Pol. muss gelten
                2c-a=0
und          a+b=0
und             d-2e=0
und             3e=0    also e=0
mit der 3. Gleichung also d=0
aber für abc gilt nur
         2c-a=0       und   a+b=0  
es muss also nur 2c=a sein    und  b=-a  sein
Die Polynome im Kern sind also alle mit
ax^4  - a x^3   +  (a/2)x^2   für alle a aus IR.
Die sind alle Vielfaches von   x^4  -  x^3  +0,5x^2 also bildet
dieses Polynom eine  Basis  für den Kern, demnach hat er dim=1

wegen der berühmten Formel dim(Kern)+dim(Bild)= dim (Urbildraum)
also    1  +   dim(Bild) = 4

L1 ist nicht injektiv, weil der Kern mehr als nur das Nullelement enthält
ganz konkret f(Nullpolynom)=0 und f(  x^4  -  x^3  +0,5x^2 )=0
aber   x^4  -  x^3  +0,5x^2 ist verschieden vom Nullpolynom.

L1 ist nicht surjektiv, da dim(Bild(L1)) =3 aber der Zielraum die Dim 4 hat.

also auch nicht bij.

Comments

die dimension des Urbildraumes ist immer n+1! Die Antwort ist somit falsch!

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Was ist das denn für ein Satz, habe ich nie gehört, und wer soll denn n sein?