Tangentengleichung zweier Funktionen die sich nicht berühren

Question

HALLO!

Gesucht sind die gemeinsamen Tangenten (ich gehe von zwei aus) , von zwei Funktionen

f(x)= (x+2)^2 +1
g(x)=-(x-1)^2-1

Ich habe einiges versucht.
F'(x) = g '(x)  kommt bei mir x= -0.5 raus
Wie kann ich mit diesem Wert richtig weitermachen?
ich hab ihn dann in den Ausgangsfunktionen eingesetzt und bei f(-0,5) = 3,25 raus, aber bei g(x)= - 3,25 ! Ist dass richtig, weil g(x) gespiegelt ist?

Bitte um möglichst eindeutigen einfachen Lösungsweg!!!

LG

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.......... bitte löschen ..........

Answer 1

Du hast nicht bedacht, dass die gemeinsame Tangente ja die beiden Graphen in unterschiedlichen
Punkten berührt.
wenn z.B. f eine Tangente in (a/f(a) ) hat, dann hat diese die
Gleichung   t(x)=   y= (2a+4)*x +(-a^2-2a+5)

diese müsste den Graphen von g in genau einem Punkt schneiden
also    t(x) = g(x)
gibt nach einiger Umformung
x^2  +  (2+2a)*x  -a^2 -2a +7 = 0
und diese Gleichung hat genau eine Lösung (Diskriminante=0)
wenn gilt    (1+a)^2 + a^2 +2a - 7 = 0
also a=1 oder a=-3

Also: Die Tangenten an Graph(f) bei x=1 und bei x=-3 sind gemeinsame Tangenten
von f und g.

Comments

Da musst du irgendwo 2a vergessen haben. Die richtigen Lösungen sind  a = 0,5·(-1±√13)

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Danke für die hilfreiche und schnelle Antwort!!!

Noch ein paar Details:
1. Ist es bei t(x)= f'(x) (x-x0) + f(x)  --> warum mal x und nicht mal x-a ?

t(x) kann also mit g(x) ohne konkrete Punkte gleichgesetzt werden.. Ich versuche es eben mal zu rechnen..
Können Sie eventuell ein paar Zwischenschritte aufführen?
Jedenfalls hab ich das Prinzip verstanden! Danke.

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Noch ein paar Details:
1. Ist es bei t(x)= f'(x) (x-x0) + f(x)  --> warum mal x und nicht mal x-a ?

Das x0 ist bei mir das a (kannst nat. auch x0 schreiben, ist aber lästiger zu tippen)

also wäre es so: t(x)= f'(x0) (x-x0) + f(x0) oder eben a.

t(x) kann also mit g(x) ohne konkrete Punkte gleichgesetzt werden.. Ich versuche es eben mal zu rechnen..
Können Sie eventuell ein paar Zwischenschritte aufführen?

t(x) = g(x)

(2a+4)*x -a^2 -2a +5 = - (x-1)^2 - 1

(2a+4)*x -a^2 -2a +5 = - x^2 +2x -1 - 1

x²  +  (2+2a)*x  -a² -2a +7 = 0     besser ?

Jedenfalls hab ich das Prinzip verstanden! Danke.

Answer 2

die Aufgabe war für mich ziemlich schwierig.

Als Lösung habe ich etwas anderes heraus als mathef.

Die Tangentengleichung ist in grün angegen.

1.Skizze
xf = 1.3
xg = -2.3
2.Skizze
xf = -2.3
xg = 1.3

mfg Georg

Comments

Haben Sie das über ein CAS gerechnet oder auch noch Tipps fürs schriftliche Berechnen? Ich meine, wo liegt der Fehler? Ich habe das mit t(x)=g(x) verstanden, bin aber auch auf ein anderes Ergebnis gekommen, nämlich auf
t=6x+4, aber auch nur erschwert..
deswegen bin ich nun insgesamt leicht verwirrt. :/

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Vorbemerkung : hier im Forum wird meist das " du " benützt.

Ich überprüfe einmal die Tangentengleichung 6x + 4

Ich habe ein Matheprogramm genutzt. Die Aufgabe,
wenigstens bei meiner Lösung, geht über Abitur /
Leistungskurs hinaus und ist schon fast im Mathe
Studium anzusiedeln.

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da habt ihr kein Glück gehabt. Dies scheint keine
gemeinsame Tangente zu sein.

Bin gern bereit meine Lösung vorzustellen.
Diese ist allerdings kompliziert.

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Ja ich hatte gemerkt, dass es nicht sein kann, hab mich weiter damit rumgeschlafen und bin auf die beiden Gleichungen

yt= -2/3 x - 0,444

und

yt= 6,07x+3,9287

gekommen.
Bei y1 hatte ich die Steigung abgelesen (die Normalparabel wurde ja verschoben und gespiegelt & die Steigung der einen Tangente müsste so -2/3 sein)
 und bei y2 mit der Idee von "mathef" : beliebige Tangentengleichung an f(x) aufstellen und dann mit g(x) gleichsetzten. Dann kommen x1= 1,035 und x2 -6,035 raus und für x1 ist dann eine gemeinsame Tangente möglich (s.o.)

Ich weiß dass es von deiner Lösung abweicht. Mich würde der Lösungsweg wirklich interessieren (trotz der Komplexität) :)

LG

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Will ich gerne tun.

Aber vorab nochmals die Frage : in welchem
Schuljahr wurde die Aufgabe gestellt ?

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@ Georg: Du kannst doch hier relativ einfach mit Schulmathematik argumentieren/arbeiten (siehe auch mathef).

Stelle die allgemeine Tangentengleichung für bspw. f(x) auf.

t(x) = f'(a)(x-a) + f(a)

Die auch wirklich mit a stehen lassen.

t(x) = y = (2(a+2)) (x-a) + (a+2)^2+1

Nun weiß man, dass eine Gerade der obigen Form den Graphen g(x) berührt. Es ist also nichts weiter zu tun als t(x) = g(x) zu setzen und nach einer Berührstelle Ausschau zu halten, also a so zu wählen, dass eine doppelte Schnittstelle/Nullstelle auftaucht und fertig ist des Sach ;).

Grüßle

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12. Klasse (G9) ; zwar nicht als PFLICHTaufgabe , aber ich wollte sie unbedingt lösen ;)

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Hallo unknown,

deine Lösung wird im wesentlichen auf meine Lösung hinauslaufen.
Schauen-wir-einmal.

Vorbemerkung
a = x - Wert des Berührpunkts einer Tangente von f
b = x - Wert des Berührpunkts einer Tangente von g

Nun weiß man, dass eine Gerade der obigen Form den  Graphen
g(x) berührt. Es ist also nichts weiter zu tun als  t(x) = g(x) zu setzen
und nach einer Berührstelle Ausschau  zu halten, also a so zu wählen,
dass eine doppelte Schnittstelle/Nullstelle auftaucht und fertig ist des Sach ;). 

Besser erscheint mir
( Schnitt- und Berührpunkt in b )
t ( b ) = g (b ) und
t ´( b ) = g ´ ( b ) wobei  t ´ ( b ) = f ´( a ) ist, also
f ´( a ) = g ´( b )

f ( x ) = ( x+2 )² +1
f ´ ( x ) = 2 * ( x + 2 )
g ( x ) = - (x-1)² - 1
g ´( x ) = -2 * ( x - 1 )

f ´( a ) = 2 * ( a + 2)
g ´( b ) = -2 * ( b -1  )
f ´( a ) = g ´( b )
2 * ( a + 2)  = -2 * ( b -1 )
a + 2 = -b +1  | stimmt bereits mit meiner Lösung überein
a = -b - 1

t ( b ) = g (b )
t ( x ) = ( 2 * (a+2) ) * ( x - a ) + ( a + 2 )² +1
t ( b ) = ( 2 * (a+2) ) * ( b - a ) + ( a + 2 )² + 1
g ( x ) = - (x-1)² - 1
g ( b ) = - ( b - 1 )² - 1

( 2 * (a+2) ) * ( x - a ) + ( a + 2 )² +1 = - ( b - 1 )² - 1
( 2 * ( ( -b - 1 )+2) ) * ( b - (-b - 1) ) + ( (-b - 1) + 2 )² + 1 = - ( b - 1 )² - 1
So und jetzt nur noch schnell berechnen. Grins.
Oder das Matheprogramm nehmen.
b = -2.3
b = 1.3

b = -2.3   => a = 1.3
b = 1.3  => a = -2.3

Die Ergebnisse stimmen  mit meinen Ergebnissen überein.
Ich bin einen kleinen Umweg gegangen.

Georg: Du kannst doch hier relativ einfach mit Schulmathematik
argumentieren/arbeiten (siehe auch mathef).

Die Lösungen von mathef
Also: Die Tangenten an Graph(f) bei x=1 und bei
x=-3 sind gemeinsame Tangenten von f und g.
haben nur einen Nachteil , das sie nicht stimmen.
( Ich schaue mir jetzt aber nicht mehr an wo )

An den Fragesteller : bist du mit der Lösung zufrieden ?
Kannst du diese nachvollziehen ?
Falls nicht, dann melde dich wieder.
Das kriegen schon hin.

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Danke für die Ausführlichkeit & Geduld, ich hab's nun wirklich fast raus ;)

"Besser erscheint mir
( Schnitt- und Berührpunkt in b )
t ( b ) = g (b ) und
t ´( b ) = g ´ ( b ) wobei  t ´ ( b ) = f ´( a ) ist, also
f ´( a ) = g ´( b ) "

das heißt die Tangente berührt g im Punkt (b/f(b));
aber warum ist die ABleitung der Tangente in b gleich der Ableitung von f(a) ?
und f ' (a) = g ' (b) bezieht sich auf dieselbe Tangente und die zwei verschiedenen Berührpunkte, richtig?

LG

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ähm, der letzte Schritt ist dann t(a) = g(b) ??

( 2 * (a+2) ) * ( x - a ) + ( a + 2 )² +1 = - ( b - 1 )² - 1 

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das heißt die Tangente berührt g im Punkt (b/f(b));
aber warum ist die ABleitung der Tangente in b gleich
der Ableitung von f(a) ?

Die 1. Ableitung ist die Steigung einer Funktion
Die Steigung der Tangenten m hat auf f bezogen die
Steigung f ´( a )
Die Steigung der Tangenten m hat auf g bezogen die
Steigung g ´( b )

und f ' (a) = g ' (b) bezieht sich auf dieselbe Tangente und
die zwei verschiedenen Berührpunkte, richtig?

Richtig.

Ich mal jetzt eine Skizze.

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12 Buchstaben Fülltext

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ähm, der letzte Schritt ist dann t(a) = g(b) ??

Fast. Oder besser falsch.

Man kann eine Tangente in der üblichen Geradengleichung
schreiben : y = m * x + b

Hier hat unknown den Vorschlag gemacht die Tangente in
der sogenannten allgemeinen Tangentengleichung anzuführen
( diese kannte ich bisher nicht bzw. habe diese nie verwendet )
t ( x ) =  f ' (a ) * ( x - a ) +  f ( a )

Diese Gleichung gilt für alle Punkte der Tangente ( logisch )
x = 1, x = 4, x = -77
und somit auch für den Punkt x = b. 
t ( b ) = f ' (a ) * ( b - a ) +  f ( a )

ausgeschrieben
t ( b ) = ( 2 * (a+2) ) * ( b - a ) + ( a + 2 )² + 1
Der Schnittpunkt der Tangente mit g ist der Punkt x = b liegt auf
t ( b ) und g ( b ) also
( 2 * (a+2) ) * ( b - a ) + ( a + 2 )² + 1  = - ( b - 1 )² - 1
und dann noch : a = -b - 1 . Alle a ersetzen durch -b -1. ( siehe oben )

Danke für die Ausführlichkeit & Geduld, 
Bin Frührenter und habe eh nichts zu tun.

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Super, vielen Dank, konnte es nun nachvollziehen :) :)

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Gern geschehen. Ich konnte auch noch etwas dazulernen.