Nullstellen der Funktion?

Question

Was sind die Nullstellen dieser Funktion?
f(x) = e^-2x+x

Answer 1

die Funktion hat keine Nullstellen. Das kriegst du raus in dem du zeigst, dass sie ein absolutes Minimum oberhalb der x-Achse besitzt.

Gruß

Comments

Und wie zeige ich das? 

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Erstmal Minimum berechnen. Die Ableitung besitzt nur eine Nullstelle...damit kann man dann argumentieren warum es ein absolutes Minimum sein muss.

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Okay danke für deine Hilfe! :)

Könntest du mir villeicht noch verraten wie man den Wendepunkt ausrechnet? 

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Man fängt normalerweise damit an die Nullstellen der 2. Ableitung zu berechnen. Wenn du diesen Weg verfolgst siehst du recht schnell, dass es keinen Wendepunkt gibt.

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@yakyu
Der Punkt mit waagerechter Tangente ist ( 0.347  | 0.847 ).

Erstmal Minimum berechnen. Die Ableitung besitzt nur eine Nullstelle...damit
kann man dann argumentieren warum es ein absolutes Minimum sein muss.

Wie wäre das zu begründen ?

Eine Möglichkeit wäre
lim x −> − ∞ und
lim x −> + ∞  zu bestimmen.
Ist beides im positiven Bereich wäre der Beweis erbracht.

Auch noch :
wird der Punkt in die 2.Ableitung eingesetzt und es ergibt sich :
Tiefpunkt wäre der Beweis auch erbracht.

Alle diese Möglichkeiten sind aber mit Berechnungen verbunden.
Mich interessiert eine möglichst einfache Argumentation.

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Hallo Georg,

das ist im grunde dieselbe Argumentation. Wenn die Ableitung nur eine Nullstelle hat und diese ein Tiefpunkt ist, so findet für die Steigung der Tangente ein Vorzeichenwechsel von negativ zu positiv an dieser Stelle statt. Rechts ist sie stets negativ links stets positiv.

Somit geht es links und rechts von diesem Punkt berghoch. 

Aufgrund der Stetigkeit der Funktion muss es sich um ein absolutes Minimum handeln.

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Hallo Yakyu,

Wie wird bei der angegeben Funktion die Nullstelle(n) ermittelt.
1.Ableitung gemacht
zu 0 gesetzt
1 Punkt mit waagerechter Tangente gefunden

Wenn die Ableitung nur eine Nullstelle hat und diese ein Tiefpunkt ist, 

Noch wissen wir ja nicht ob es ein Tiefpunkt ist

so findet für die Steigung der Tangente ein Vorzeichenwechsel von negativ zu
positiv an dieser Stelle statt. Rechts ist sie stets negativ links stets positiv.

Umgekehrt  Beim Tiefpunkt ist die Steigung rechts positiv, links davon negativ .
Richtig wie zuerst angegeben : Steigung der Tangente ein Vorzeichenwechsel
von negativ zu  positiv

Etwas mehr an Überlegungen sind zur Beantwortung dann doch notwendig.
Ich betrachte meine Anfrage als ausreichend beantwortet.

mfg Georg

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Hi,

ja hab mich mit rechts und links verschrieben -.-, danke für die Richtigstellung. An keinem Zeitpunkt habe ich geschrieben, dass man nur die Nullstellen der 1. Ableitung berechnen muss. Die Überprüfung auf Tiefpunkt ist m. E. Bestandteil der Berechnung eines Tiefpunkts.

Gruß

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Hallo Yakyu,

deine Antwort :
Das kriegst du raus in dem du zeigst, dass sie ein absolutes Minimum
oberhalb der x-Achse besitzt.
ist völlig korrekt.

Der komplette Nachweis wäre
1.Ableitung bilden
zu 0 gesetzt
1 Punkt mit waagerechter Tangente gefunden
Nachweisen das dies ein Minimum ist. Entweder
- über die 2.Ableitung oder
- Monotonieverhalten.
Nachweis erbracht : es ist ein Minimum.
Ausrechnen ob das Minimum oberhalb der x.Achse ist.

Das müßte es sein.

mfg Georg