Aufgabe 23:
(a) Bestimmen Sie jeweils den Rang der Matrizen \( A \) und \( B \) :
\( A=\left[\begin{array}{rrrrr} 2 & 4 & 1 & 0 & -1 \\ 2 & 3 & 1 & -1 & -4 \\ 4 & 1 & 0 & -3 & -1 \\ 6 & -2 & -1 & -6 & -1 \end{array}\right], \quad B=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -1 & 3 \\ 4 & 3 & -2 \\ -2 & -9 & 1 \\ 4 & -2 & 7 \\ -1 & 3 & 2 \end{array}\right] \)
(b) Bestimmen Sie in Abhängigkeit von \( a \in \mathbb{R} \) den Rang der Matrix
\( A_{a}=\left[\begin{array}{rrr} 2 & -5 & -6 \\ -4 & 6 & 8 \\ -2 & 0 & a \end{array}\right] \)
(c) Geben Sie jeweils zwei Matrizen \( A, B \in \operatorname{Mat}_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \) an, für die gilt:
(i) \( \operatorname{rang}(A+B)<\min \{\operatorname{rang}(A), \operatorname{rang}(B)\} \)
(ii) \( \operatorname{rang}(A+B)=\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}(B) \)
(iii) \( \operatorname{rang}(A+B)>\max \{\operatorname{rang}(A), \operatorname{rang}(B)\} \)
Aufgabe 24:
Gegeben ist die Matrix \( A \in \) Mat \( _{4 \times 5}(\mathbb{R}) \) mit
\( A=\left[\begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 0 & 0 & 3 \\ 2 & -5 & -3 & -2 & 6 \\ 0 & 5 & 15 & 10 & 0 \\ 2 & 6 & 18 & 8 & 6 \end{array}\right] \)
(a) Bestimmen Sie eine Basis für den Zeilenraum \( \mathcal{R}(A) \).
(b) Bestimmen Sie eine Basis für den Kern \( \mathcal{N}(A) \).
(c) Bestimmen Sie eine Basis für den Spaltenraum \( \mathcal{C}(A) \).
Ansatz:
Bei 23) ist mir Aufgabenteil C nicht wirklich was zu eingefallen. Hoffe jemand hat da einen Lösungsvorschlag.
Bei 24) hab ich im b) Teil die Basis B= r*[2,1,-1,1,0] +r*[-3,0,0,0,1], das passte aber nicht bei der Bestimmung der Basis für den Spaltenraum.
