Basis für den Zeilenraum bestimmen.

Question

  Wie bestimmt man diese Sachen?

Aufgabe
Gegeben ist die Matrix \( A \in \mathrm{Mat}_{4 \times 5}(\mathbb{R}) \) mit
\( A=\left[\begin{array}{rrrrr}{1} & {-2} & {0} & {0} & {3} \\ {2} & {-5} & {-3} & {-2} & {6} \\ {0} & {5} & {15} & {10} & {0} \\ {2} & {6} & {18} & {8} & {6}\end{array}\right] \)
(a) Bestimmen Sie eine Basis für den Zeilenraum \( \mathcal{R}(A) \)
(b) Bestimmen Sie eine Basis für den Kern \( \mathcal{N}(A) \)
(c) Bestimmen Sie eine Basis für den Spaltenraum \( \mathcal{C}(A) \)

Answer 1

a) , c)

mit dem Gauß-Algoritmus  

https://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsches_Eliminationsverfahren 

kannst du den Rang von Matrizen bestimmen

 https://de.wikipedia.org/wiki/Rang_(Mathematik) 

(Zeilenrang = Spaltenrang)

Dieser stimmt mit der Maximalzahl der linear unabhängigen Zeilen- bzw. Spaltenvektoren  -  und damit mit der Dimension des Zeilen- bzw. Spaltenraums  -  überein.

Der Rang von A ist 3

Du brauchst also für den Zeilen-  bzw. Spaltenraum jeweils drei linear unabhängige Zeilen- bzw. Spaltenvektoren.

Lässt du die beiden letzten Spalten von A weg, so ist der Rang der Restmatrix 3, ihre Spaltenvektoren bilden also eine Basis des Spaltenraums.

Lässt du die zweitletzte Zeile weg, so ist der Rang der Restmatrix ebenfalls 3, ihre Zeilenvektoren bilden also eine Basis des Zeilenraums.

b)

Der Kern N(A)  ist die Lösungsmenge der Gleichung  A • \(\vec{x}\) = \(\vec{0}\) 

N(A)  = { \(\vec{x}\) ∈ ℝ⁵ |  \(\vec{x}\) = λ • \( \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \\ 1\\ 0 \end{pmatrix}\)+ μ • \( \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 0 \\ 0\\ 1 \end{pmatrix}\) mit  λ,μ ∈ ℝ }

Die angegebenen Spaltenvektoren bilden eine Basis des Kerns.

Gruß Wolfgang