Komplementäre Unterräume und idempotente Abbildungen

Question

Sei V ein K-Vektorraum und U, U' zwei komplementäre Untervektorräume von V (d.h U' ist ein Komplement zu U).

Zeigen Sie:

a) Es gibt genau einen Endomorphismus π: V → V mit π(u) = u für u ∈ U und ker(π) ∈ U'

b) Die Abbildung π : V → V aus (a) ist idempotent , d.h π ° π = π

Comments

"ker(π) ∈ U'"

Der Kern ist eine Menge, kein Vektor. Als solches kann er nur Teilmenge sein, niemals Element.

Wobei hier wohl eigentlich Gleichheit gelten soll,oder?

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Tut mir leid, hast da voll recht.

Answer 1

Zu (a):

Sei \(v\in V\). Da \(V\) die direkte Summe von \(U\) und \(U'\) ist, gibt es genau ein

\(u\in U\) und ein \(u'\in U'\) mit \(v=u+u'\).

Daher ist \(\pi(v)=\pi(u+u')=\pi(u)+\pi(u')=u+0=u\).

Damit ist \(\pi\) wohldefiniert und vollkommen für alle \(v\in V\) bestimmt.

Zu (b):

\(\pi^2(v)=\pi(\pi(v))=\pi(u)=\pi(u)+0=\pi(u)+\pi(u')=\pi(u+u')=\pi(v)\).

Dies gilt für alle \(v\in V\), also \(\pi^2=\pi\).