Unterräume eines Vektorraumes, Homomorphimus

Question

Aufgabe:

Es seien U und W Unterräume eines K-Vektorraumes V.

a) Betrachten Sie den ”natürlichsten“ Homomorphismus W → V/U und folgern Sie damit, dass gilt: W/(W∩U) ≅ (W+U)/U.

b) Nun seien W ≤ U ≤ V. Betrachten Sie den ”natürlichsten“ Homomorphismus V/W → V/U und folgern Sie damit, daß gilt: (V/W)(U/W) ≅ V/U.

Answer 1

Erst einmal, was ist die "natürliche Abbildung" \(f:W\to V/U\)?

Erst einmal hast du die Inklusion in V und dann die Projektion in den Quotientenraum, also \(f:W\stackrel{\iota}{\to}V\stackrel{\pi}{\to}V/U\) mit \(w\mapsto w\mapsto [w]_U\).

Jetzt kennst du hoffentlich die Homomorphiesätze, einer davon sagt, dass für jede lineare Abbildung \(f:T\to S\) von Vektorräumen mit der Zuordnung \([t]\mapsto f(t)\) ein Isomorphismus \(\Psi_f:T/\ker(f)\to \operatorname{im}(f)\) definiert wird.

Du weißt jetzt also, dass du einen Isomorphismus \(W/\ker(f)\to \operatorname{im}(f)\) bekommst, was sind also Kern und Bild? Der Kern sind all diejenigen \(w \in W\), sodass \([w]_U = [0]_U\), das ist äquivalent zu \(w + U = 0 + U = U \implies w\in U\), also folgerst du, dass der Kern von f genau die Elemente in W sind, die auch in U liegen, also \(\ker(f) = W\cap U\).

Jetzt weißt du bereits, dass du einen Isomorphismus hast: \(\Psi_f:W/(W\cap U)\to \operatorname{im}(f)\). Und wie du sehen wirst, ist das Bild wirklich \((W+U)/U\), das ist dir selbst überlassen. In der b) machst du genau das gleiche, nur halt mit einer anderen Abbildung.

LG