Zeigen sie, dass folgend eBedingung ausreicht, damit W ein Untervektorraum von V ist

Question

W ist eine Teilmenge eines Vektorraumes V. Zeigen sie, dass die Bedingung

u,v ∈ W  ⇒ α u + β v ∈ W  , α,β ∈ ℝ

ausreicht, damit W ein Untervektorraum von V ist

Muss ja jetzt glaub ich die 3 Dinge beweisen, dass der Nullvektor enthalten ist, die Addition und die Multiplikation mit einem Skalar... hab allerdings keinen plan wo ich ansetzen soll, da man uns das nie wirklich erklärt hat :(

Würde mich über Lösungen freuen. Danke

Answer 1

betrachte einfach die folgenden Fälle: (a soll alpha sein und b soll beta sein)

1) a=b=0

2) a=b=1

3) b = 0 und a beliebig

Gruß

Comments

ok  wenn ich die 3 Fälle betrachte dann ergibt sich ja für fall 1 der Nullvektor , für Fall 2 a+b , dies entspricht ja der addition und für fall b  a* u dies entspräche der multiplikation. ist dies dann wirklich das einzige wa sich hinschreiben muss? weil das ein bisschen wenig ist und für die Aufgabe gibt es 5 punkte von gesammt 15 und für die andren  aufgaben, also den restlichen 10 punkten hab ich 3 seiten geschrieben :D

also würde das so schreiben

1) Wähle a=b=0 -> 0*u +0* v =0 ->Nullvektor enthalten
2) Wähle a=b=1 -> 1*u+1*v=u+v  ->Addition zweier Vektoren
3) Wähle b=0      -> a*u + 0*v = a*u ->Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

->u,v ∈ W  ⇒ α u + β v ∈ W  , α,β ∈ ℝ ist ausreichend dafür,dass W ein Untervektorraum von V ist

Passt das so oder muss ich das ganze ausführlicher machen bzw. noch was andres beweisen?

---

oft werden kurze Lösungen in der Mathematik als "schöner" bezeichnet. Die Verkürzung der Definition für UVR finde ich auch angenehmer als ständig alle 3 Kriterien aufzuschreiben. 

Du kannst anstatt "->...:" am Ende einer Zeile auch einfach "∈ W" schreiben.

Der Antwortsatz am Ende ist zwar nett, aber im Grunde redundant, da du ja am Ende von 3 gezeigt hast was zu beweisen war (nämlich die Folgerung der Definition eines UVR).

Gruß

---

ok danke für die schnelle Hilfe :)

---

Kein Problem immer gerne :)