Die Funktion f : ℝ − {0} → ℝ ist stetig auf ℝ − {0}?

Question

Die Funktion f : ℝ − {0} → ℝ,

$$f\left( x \right) =\frac { 1-cos^{ 2 }x }{ { x }^{ 2 } } $$

ist stetig auf ℝ − {0}. A priori ist sie durch obigen Ausdruck nicht für  x = 0

definiert. Kann man f stetig auf ganz ℝ fortsetzen? Mit anderen Worten: Existiert

eine stetige Funktion g : ℝ → ℝ mit g(x) = f(x) für alle x ≠ 0?

(Beweisen Sie Ihre Antwort.)

Wie Beweise ich es.. ich bin am verzweifeln. Danke für die Hilfe!!!

Answer 1

mit L'Hopital kannst du erstmal überprüfen ob der Grenzwert bei \( x to 0 \) existiert. Außerdem kannst du für den Zähler auch schreiben: \( 1-\cos^2(x) = \sin^2(x) \).

Existiert der Grenzwert so lässt sich die Funktion dort stetig erweiteren.

Gruß