Question

Untersuchen Sie die folgenden Funktionen auf Differenzierbarkeit und bestimmen Sie gegebenenfalls die Ableitung:

(a) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1-x, & x \leq 0 \\ x^{2}-x+1, & x>0\end{array}\right. \)

(b) \( f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) mit \( f(x)=\frac{x}{x^{2}+1} \)

(c) \( f:\left[0, \infty\left[\rightarrow \mathbb{R}\right.\right. \) mit \( f(x)=\sqrt{\sqrt{x^{3}}+1} \)

Meine Idee zur Ableitung:

a)

f₁ (x) =  -x, x≤0

f₂ (x)=  x, ≥0

c) f(x)= (1/√√x³+1)x√3x³+1

=√3x+1/√√x³+1

Answer 1

Meine Idee zur Ableitung:

a)

ƒ'₁ (x) =  -1,  x<0

ƒ'₂ (x)=  2x-1  , x>0

und bei 0 stimmen rechtsseitige Abl. und linksseitige überein

weil beides -1 ist, also überall differenzierbar   und f ' (0) = -1

b) x / (x^2+1)  schau mal nach unter Quotientenregel, z.B. in der Form  u/v

dann nimmst du u=x   und v= x^2+1 und setzt in die Formel ein.

c)

ƒ(x)= (1/√√x³+1)x√3x³+1

=√3x+1/√√x³+1  (sorry, ich hab das nicht besser hinbekommen)
Hier mit Kettenregel:   äußere Funktion ist wurzel(x) = x^{0,5}  mit der Abl   o,5*x^{-0,5}
innere wurzel(x^3) + 1

also f ' ( x) = o,5 *( innere Fkt)^{-0,5}   *   abl. der inneren Funktion.

abl der inneren geht wieder mit Kettenregel

   abl von wurzel(x^3) + 1  ist    0,5* (x^3)^{-0,5}  * 3x^2  + 0
Das rote ist die Abl von dem, was in der wurzel eingesetzt ist.
also
f ' (x) = o,5 *( wurzel(x^3) + 1 )^{-0,5}*   0,5* (x^3)^{-0,5}  * 3x^2

Comments

zu b)

u=x
u´=1
v=x²+1
v´=2x

ƒ´(x)= 1(x¹+1)-2x(x)/(x²+1)²
        = -x²+1/(x²+1)²

Ist das Richtig?

---

ƒ´(x)= 1(x¹+1)-2x(x)/(x²+1)²
( Naja, doch nur ein kleiner Fehler. )

( u / v ) ´ = ( u´ * v - u * v´ ) / v^2
( 1 * ( x^2 + 1 ) - x * 2x   ) / ( x^2 + 1 )^2
( x^2 + 1 - 2x^2 ) / ( x^2 + 1)^2
( 1 - x^2 ) / ( x^2 + 1)^2

mfg Georg

Answer 2

a.)
Die geteilte Funktion ist in den Bereichen stetig und differenzierbar

Ist an der Nahtstelle stetig.
Differenzierbarkeit :
linker Grenzwert = Funktionswert = rechter Grenzwert
f ´( x ) = -1  für x ≤ 0
f ` ( x ) = 2* x - 1  für x > 0
Rechter Grenzwert
lim x -> 0(+)  [ 2*x - 1 ] = -1
Die Funktion ist differenzierbar

b.) f ( x ) = x / ( x^2 + 1 )
Der Nenner kann nicht null werden. Keine Lücke.
f ´( x ) = ( 1 * ( x^2 + 1) - ( x * 2*x ) ) / ( x^2+1)^2
f ´( x ) = ( x^2 + 1 - 2*x^2  ) / ( x^2+1)^2
f ´( x ) = ( 1 - x^2  ) / ( x^2+1)^2
Keine Probleme.

c.)
ƒ(x)= (1/√√x³+1)
woher kommt das 1/  ?

falls es heißt
ƒ(x)= √ ( √ ( x³+1) )
Def-Bereich = ℝ⁺
Auch hier sehe ich zunächst keine Probleme
1.Ableitung ( Kettenregel )
f ´( x )  =  ( √ ( x³+1) ) ´ / ( 2 * √ ( √ ( x³+1) ) )
f ´( x )  =  ( x³+1)  ´ / (  2 * √ ( x³+1) * 2 * √ ( √ ( x³+1) ) )
f ´( x )  =   ( 3 * x² )  / (  2 * √ ( x³+1) * 2 * √ ( √ ( x³+1) ) )
Dürfte kein Problem sein.