Was du sagst ist weitestgehend richtig. Der Fehler besteht darin, daraus zu folgern, dass die Funktion in -1 nicht differenzierbar ist. Überleg dir mal genau, was du zeigen musst. Die Ableitung einer Funktion \(f\) an der Stelle \(a\) ist definiert als
$$ f'(a):=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$
D.h. du musst zeigen, dass dieser Grenzwert nicht existiert. Du hast aber gezeigt, dass der Grenzwert
$$ \lim_{x\rightarrow -1} f'(x) $$
nicht existiert, da links- und rechtsseitiger Grenzwert verschieden sind. Wenn du dort einfach für \(f'(x)\) die obige Definition einsetzst, siehst du, dass du gezeigt hast, dass
$$ \lim_{x\rightarrow -1} \lim_{a\rightarrow x} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$
nicht existiert. Aber das erlaubt dir keine Aussage über die Existenz von \( f'(-1)=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} \). Du hast damit lediglich gezeigt, dass die Ableitung (sofern sie existiert) nicht stetig sein kann. Aber das ist kein Problem und erlaubt keinerlei Aussage hinsichtlich der Differenzierbarkeit, wie mein Beispiel von oben zeigt.
Der Beweis, dass die Funktion aus der Aufgabenstellung in -1 nicht differenzierbar ist, geht wie folgt:
Es ist zu zeigen, dass
$$ f'(-1)=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} $$
nicht existiert. Dies kann man tun, indem man zeigt, dass der links- und rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen. Dabei kann man ausnutzen, dass beim rechtsseitigen Grenzwert aufgrund der Annäherung von oben \(x>-1\) gilt und analog beim linksseitigen Grenzwert \(x<-1\). So kann man die Betragsstriche dann wegbekommen.
Also betrachten wir zunächst den rechtsseitigen Grenzwert:
$$ \lim_{x\downarrow -1} \frac{|x+1|-0}{x+1} \underset{\Rightarrow x+1>0}{\underset{x>-1}{=}} \lim_{x\downarrow -1} \frac{x+1}{x+1} = 1$$
Jetzt der linksseitige:
$$ \lim_{x\uparrow -1} \frac{|x+1|-0}{x+1} \underset{\Rightarrow x+1<0}{\underset{x<-1}{=}} \lim_{x\uparrow -1} \frac{-(x+1)}{x+1} = -1$$
Rechts- und linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten stimmen nicht überein, folglich existiert
$$ f'(-1)=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} $$
nicht.