Differenzierbarkeit bei x ∈ R finden etc...

Question

a) Sei f : ℝ → ℝ, x ↦ |x + 1|.
Finden Sie alle x ∈ ℝ, in denen f differenzierbar ist.
Für alle solche  x berechnen Sie f '(x).

b) Sei f : ℝ → ℝ, x ↦ x^1/3-x^2/3
 
 Beweisen Sie, dass f in 0 nicht differenzierbar ist.

Wie soll ich das machen?

Answer 1

a) die gesuchte Menge M, in der die Funktion differenzierbar ist.

M = {x Element R | x ≠ -1} 

Ableitung:

f ' (x) = 1 , für x> -1  und 

f ' (x) = -1 , für x < -1.

b) Sei f : ℝ → ℝ, x ↦ x^1/3-x^2/3 

f ' (x) = 1/3 x^{-2/3} - 2/3 x^{-1/3} = (1 - 2x^{1/3} ) /  ( 3*x^{2/3} )

lim(x-0) f'(x) = (1-0)/0 ex. nicht.

Answer 2

a) Sei f : ℝ → ℝ, x ↦ |x + 1|.
Finden Sie alle x ∈ ℝ, in denen f differenzierbar ist.
Für alle solche  x berechnen Sie f '(x). 

Die Skizze zeigt dir die Funktion.
Für die Funktion gilt
x + 1 > 0
x > -1
f ( x ) = x + 1
f ´ ( x ) = 1. Die Steigung rechts von x = -1 ist 1

x + 1 < 0
x < -1
f ( x ) = ( x + 1 ) * (-1) = -x - 1
f ´ ( x ) = -1. Die Steigung links von x = -1 ist -1

Die Funktion ist im Punkt x = -1 nicht differenzierbar.
Linker Grenzwert der Steigung -1
Rechter Grenzwert der Steigung 1

Comments

Sei f : ℝ → ℝ, x ↦ x^1/3-x^2/3
Beweisen Sie, dass f in 0 nicht differenzierbar ist.

f ´( x ) = 1/3 * x^{-2/3} - 2/3 * x^{-1/3}
f ´( x ) = 1/3 * 1 / x^{2/3} - 2/3 * 1 / x^{1/3}
für 1 / x^{2/3} und x = 0 gilt : nicht definiert da Division durch 0.
f ( x ) ist im Punkt x = 0 nicht differenzierbar.

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Begründung bei a) ist falsch bzw. unpräzise, es ist vollkommen egal, wenn die Ableitung unstetig ist, d.h.

$$ \lim_{x\uparrow-1} f'(x) \neq \lim_{x\downarrow-1} f'(x) $$

gilt. Man muss zeigen, dass der Grenzwert

$$ f'(-1):=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1}$$

nicht existiert, und das ist (in \(\mathbb{R}\)) genau dann der Fall, wenn rechts- und linksseitiger Grenzwert nicht gleich sind, d.h. es ist zu zeigen, dass

$$ \lim_{x\uparrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1} \neq \lim_{x\downarrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x+1}$$

Das geht ganz leicht, man kann diese beiden Grenzwerte berechnen, indem man ausnutzt, dass beim linken gilt (Näherung von unten) \(x<-1\) und bei der Näherung von oben \(x>-1\). 

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Eine recht akademische Herleitung, die ich leider nicht verstehe und
der Fragesteller, für diesen werden die Antworten hier geschrieben,
sicherlich auch nicht.

Die Funktion f ( x ) hat für x < -1 die Steigung -1. Also auch für den
lim x −> -1(-)   [ f ´( x ) ] = -1

Die Funktion f ( x ) hat für x > -1 die Steigung 1. Also auch für den
lim x −> -1(+)   [ f ´( x ) ] = 1

linksseitiger Grenzwert ≠ rechtsseitiger Grenzwert
Das sollte als Nachweis reichen.

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@georgborn: Die Diskussion hatten wir hier schon mal. Und damals hatte ich dir ein Beispiel für eine Funktion gezeigt, die differenzierbar, deren Ableitung aber nicht stetig ist.

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@nick1
Kann sein. Kann mich aber nicht entsinnen.

Stimmt den die Aussage nicht. Für die erste Ableitung.
linksseitiger Grenzwert ≠ rechtsseitiger Grenzwert
nicht differenzierber ?

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Welchen Grenzwert meinst du? Du musst schon präziser sein.

Ich denke aber, dass du den Grenzwert der Ableitung meinst, also \( \lim_{x\rightarrow a} f'(x) \). Wenn das Ding nicht gleich \(f'(a)\) ist oder nicht existiert (z.B. der Fall wenn rechts- und linksseitiger Grenzwert nicht gleich sind), so ist das vollkommen egal für die Differenzierbarkeit in \(a\). Das heißt ja nur, dass die Ableitung nicht stetig ist.

Es geht um folgenden Grenzwert:

\(f'(a)=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \)

das ist die Ableitung an der Stelle \(a\) und wenn dieser Grenzwert nicht existiert, der da definiert ist, dann ist \(f\) nicht differenzierbar in \(a\). Das ist z.B. der Fall, wenn links- und rechtsseitiger Grenzwert nicht übereinstimmen. Allerdings von dem von mir zuletzt genannten Grenzwert und NICHT beim Grenzwert der Ableitung.

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Steht doch 3 Kommentare nach oben

Die Funktion f ( x ) hat für x < -1 die Steigung -1. Also auch für den
lim x −> -1(-)   [ f ´( x ) ] = -1

Die Funktion f ( x ) hat für x > -1 die Steigung 1. Also auch für den
lim x −> -1(+)   [ f ´( x ) ] = 1

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Hab es editiert. Du musst dir wirklich klarmachen, was Differenzierbarkeit bedeutet bzw. wie es definiert ist.

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georgborn: https://www.wolframalpha.com/input/?i=+x%5E%281%2F3%29+-+x%5E%282%2F3%29

Wenn du in der Ableitung, die im Link berechnet wird 0 einsetzt, hast du (1 - 0)/ 0 = 1/0. Das ist sicher keine endliche Zahl.

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@Lu
Von welcher Aufgabe redest du
Von a.) oder von b.)

Wo kommt bei mir ( 1 - 0 ) / 0 vor ?

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b) öffne bei Zweifel man meinen Link.

EDIT: Sehe gerade, dass du das auch hattest. Ihr habt offenbar bei a) noch eine Diskussion.

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@Lu
Was meinst du dazu ?

Stimmt denn die Aussage nicht.
Für die erste Ableitung an bestimmter Stelle

linksseitiger Grenzwert ≠ rechtsseitiger Grenzwert
Nicht differenzierbar ?

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Wie kommst du eigentlich zu dieser Annahme? Wie begründest du das oder wo hast du es schon mal gehört? Weißt du, wie Differenzierbarkeit definiert ist? Man muss schon mit der Definition arbeiten.

Nein, deine Aussage stimmt nicht, betrachte z.B.

$$f(x)=\begin{cases} x^2\sin(\frac{1}{x}),\quad x\neq 0 \\ 0,\qquad\qquad~~ x=0\end{cases}$$

Diese Funktion ist überall (auch in 0!) differenzierbar und es gilt

$$f'(x)=\begin{cases} 2x\sin(\frac{1}{x}) - \cos(\frac{1}{x}),\quad x\neq0 \\ 0,\qquad\qquad\qquad\qquad~~ x=0\end{cases}$$

aber \(f'\) ist in \(0\) nicht stetig, denn \(\lim_{x\rightarrow 0}f'(x)\) existiert nicht.

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georgborn:

"Stimmt denn die Aussage nicht. 
Für die erste Ableitung an bestimmter Stelle

linksseitiger Grenzwert der Ableitung  ≠ rechtsseitiger Grenzwert der Ableitung

==> 
Nicht differenzierbar ?"

So würde ich das gelten lassen. Aber nur in dieser Richtung.

Ich vermisse bei deiner ersten Antwort zu a) die gesuchte Menge M, in der die Funktion differenzierbar ist.

M = {x Element R | x ≠ -1} 

Ableitung:

f ' (x) = 1 , für x> -1  und 

f ' (x) = -1 , für x < -1.

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Richtig Lu,
in meiner Antwort habe ich nicht genau auf die Frage
geantwortet. Ich wollte dem Fragesteller genau aufzeigen
das die Funktion in x = -1 nicht differenzierbar ist und
alles weitere dem Fragesteller überlassen.
Sozusagen, den hier so beliebten " Denkanstoß "
geben.

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Leider alles ein bisschen unübersichtlich hier? Welche Antwort war denn die richtige Bewatnwortung von a und b?

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Meine erste Antwort und mein erster Kommentar waren schon
tiptop.

Lu´s Antwort beantwortet die Frage a.) exakt.

Falls dir etwas an den Antworten unklar ist dann wieder melden.

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Es tut mir leid, aber um zu vermeiden, dass der Fragesteller und andere Leute, die hier mitlesen, sich möglicherweise etwas falsches aneignen, muss ich noch mal darauf hinweisen, dass Du zwar bei a) richtig erkannt hast, dass die Funktion in \(x=-1\) nicht differenzierbar ist, aber deine Begründung falsch ist. Ich verweise noch mal auf das von mir etwas weiter oben genannte Beispiel. Für Rückfragen in diesem Zusammenhang stehe ich natürlich zur Verfügung.

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Es tut mir leid, aber um zu vermeiden, dass der Fragesteller und  andere
Leute, die hier mitlesen, sich möglicherweise etwas falsches aneignen...

Ist auch in meinem Sinne.

Ich komme vielleicht später noch einmal darauf zurück.

mfg Georg

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Ich habe mir noch einmal deine Beispiele und Argumentationen
angeschaut komme aber nicht weiter.

Deshalb reduziere ich unsere Diskussion auf das angefragte
Beispiel.

Ist die Funktion für x = -1 differenzierbar ?

Links von x = -1 habe ich die Steigung -1. Dies dürfte dann auch für den
Grenzwert (-1)- gelten.
Rechts von x = -1 habe ich die Steigung 1. Dies dürfte dann auch für den
Grenzwert (-1)+ gelten.

Wir haben also den Fall
linker Grenzwert der Steigung ≠ rechter Grenzwert der Steigung

Bei mir im Hirn ist hierzu gespeichert : nicht differenzierbar.
Es ist ein Knick vorhanden.

Soweit mein Wissensstand.

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Was du sagst ist weitestgehend richtig. Der Fehler besteht darin, daraus zu folgern, dass die Funktion in -1 nicht differenzierbar ist. Überleg dir mal genau, was du zeigen musst. Die Ableitung einer Funktion \(f\) an der Stelle \(a\) ist definiert als

$$ f'(a):=\lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

D.h. du musst zeigen, dass dieser Grenzwert nicht existiert. Du hast aber gezeigt, dass der Grenzwert

$$ \lim_{x\rightarrow -1} f'(x) $$

nicht existiert, da links- und rechtsseitiger Grenzwert verschieden sind. Wenn du dort einfach für \(f'(x)\) die obige Definition einsetzst, siehst du, dass du gezeigt hast, dass

$$ \lim_{x\rightarrow -1} \lim_{a\rightarrow x} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$

nicht existiert. Aber das erlaubt dir keine Aussage über die Existenz von \( f'(-1)=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} \). Du hast damit lediglich gezeigt, dass die Ableitung (sofern sie existiert) nicht stetig sein kann. Aber das ist kein Problem und erlaubt keinerlei Aussage hinsichtlich der Differenzierbarkeit, wie mein Beispiel von oben zeigt.

Der Beweis, dass die Funktion aus der Aufgabenstellung in -1 nicht differenzierbar ist, geht wie folgt:

Es ist zu zeigen, dass

$$  f'(-1)=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} $$

nicht existiert. Dies kann man tun, indem man zeigt, dass der links- und rechtsseitige Grenzwert nicht übereinstimmen. Dabei kann man ausnutzen, dass beim rechtsseitigen Grenzwert aufgrund der Annäherung von oben \(x>-1\) gilt und analog beim linksseitigen Grenzwert \(x<-1\). So kann man die Betragsstriche dann wegbekommen.

Also betrachten wir zunächst den rechtsseitigen Grenzwert:

$$  \lim_{x\downarrow -1} \frac{|x+1|-0}{x+1} \underset{\Rightarrow x+1>0}{\underset{x>-1}{=}} \lim_{x\downarrow -1} \frac{x+1}{x+1} = 1$$

Jetzt der linksseitige:

$$  \lim_{x\uparrow -1} \frac{|x+1|-0}{x+1} \underset{\Rightarrow x+1<0}{\underset{x<-1}{=}} \lim_{x\uparrow -1} \frac{-(x+1)}{x+1} = -1$$

Rechts- und linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten stimmen nicht überein, folglich existiert

$$  f'(-1)=\lim_{x\rightarrow -1} \frac{f(x)-f(-1)}{x-(-1)} $$

nicht.